3 veidi, kā atrisināt kvadrātvienādojumus

2024 Autors: Jason Gerald | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-12-16 11:26

Kvadrātvienādojums ir vienādojums, kura augstākā pakāpe ir 2 (kvadrātā). Ir trīs galvenie kvadrātvienādojuma risināšanas veidi: kvadrātvienādojuma faktorizēšana, ja varat, izmantojot kvadrātisko formulu vai kvadrāta aizpildīšana. Ja vēlaties apgūt šīs trīs metodes, rīkojieties šādi.

Solis

1. metode no 3: Faktoringa vienādojumi

1. solis. Apvienojiet visus vienādos mainīgos un pārvietojiet tos uz vienādojuma vienu pusi

Pirmais solis vienādojuma faktorizēšanai ir visu vienādu mainīgo pārvietošana uz vienādojuma vienu pusi ar x²ir pozitīvs. Lai apvienotu mainīgos, pievienojiet vai atņemiet visus mainīgos x², x un konstantes (veseli skaitļi), pārvietojiet tās uz vienādojuma otru pusi, lai nekas nepaliktu otrā pusē. Ja otrai pusei nav atlikušo mainīgo, pie vienādības zīmes uzrakstiet 0. Lūk, kā to izdarīt:

• 2x² - 8x - 4 = 3x - x²
• 2x² +x² - 8x -3x - 4 = 0
• 3x² - 11x - 4 = 0

Solis 2. Faktorējiet šo vienādojumu

Lai vienādotu šo vienādojumu, jāizmanto koeficients x² (3) un nemainīgo koeficientu (-4), reizinot tos un pievienojot tos, lai tie ietilptu mainīgajā vidū (-11). Lūk, kā to izdarīt:

• 3x² ir tikai viens iespējamais faktors, tas ir, 3x un x, varat tos ierakstīt iekavās: (3x +/-?) (x +/-?) = 0.
• Pēc tam izmantojiet eliminācijas procesu, lai koeficientu 4, lai atrastu produktu, kas dod -11x. Jūs varat izmantot reizinājumu 4 un 1, vai 2 un 2, jo, reizinot abus, jūs iegūstat 4. Bet atcerieties, ka vienam no skaitļiem jābūt negatīvam, jo rezultāts ir -4.
• Izmēģiniet (3x + 1) (x - 4). To reizinot, rezultāts ir - 3x² -12x +x -4. Ja jūs apvienojat mainīgos -12 x un x, rezultāts ir -11x, kas ir jūsu vidējā vērtība. Jūs tikko aprēķinājāt kvadrātvienādojumu.
• Piemēram, mēģināsim faktorizēt otru produktu: (3x -2) (x +2) = 3x² +6x -2x -4. Apvienojot mainīgos, rezultāts ir 3x² -4x -4. Pat ja koeficienti -2 un 2, reizinot, iegūst -4, vidējais nav vienāds, jo vēlaties iegūt vērtību -11x, nevis -4x.

Solis 3. Pieņemsim, ka katra iekava ir nulle citā vienādojumā

Tas ļaus jums atrast 2 x vērtības, kas padarīs jūsu vienādojumu nulli. Jūs esat aprēķinājis savu vienādojumu, tāpēc viss, kas jums jādara, ir pieņemt, ka aprēķins katrā iekavās ir vienāds ar nulli. Tādējādi jūs varat rakstīt 3x + 1 = 0 un x - 4 = 0.

Solis 4. Atrisiniet katru vienādojumu atsevišķi

Kvadrātvienādojumā x ir 2 vērtības. Atrisiniet katru vienādojumu atsevišķi, pārvietojot mainīgos un pierakstot 2 x atbildes, piemēram:

• Atrisiniet 3x + 1 = 0

  • 3x = -1….. atņemot
  • 3x/3 = -1/3….. dalot
  • x = -1/3….. vienkāršojot

• Atrisiniet x - 4 = 0

  x = 4….. atņemot

• x = (-1/3, 4)….. nodalot vairākas iespējamās atbildes atsevišķi, tas nozīmē, ka x = -1/3 vai x = 4 abas var būt pareizas.

5. solis. Pārbaudiet x = -1/3 collas (3x + 1) (x -4) = 0:

Tādējādi mēs iegūstam (3 [-1/3] + 1) ([-1/3]-4)? =? 0….. aizstājot (-1 + 1) (-4 1/3)? =? 0….., vienkāršojot (0) (-4 1/3) = 0….. reizinot Tātad, 0 = 0….. Jā, x = -1/3 ir taisnība.

6. solis. Pārbaudiet x = 4 collas (3x + 1) (x - 4) = 0:

Tādējādi mēs iegūstam (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0….. aizstājot (13) (4–4)? =? 0….. vienkāršojot (13) (0) = 0….. reizinot Tātad, 0 = 0….. Jā, arī x = 4 ir taisnība.

Tātad, pēc pārbaudes atsevišķi, abas atbildes ir pareizas un tās var izmantot vienādojumos

2. metode no 3: izmantojot kvadrātisko formulu

1. solis. Apvienojiet visus vienādos mainīgos un pārvietojiet tos uz vienādojuma vienu pusi

Pārvietojiet visus mainīgos uz vienādojuma vienu pusi ar mainīgā x vērtību² pozitīvs. Pierakstiet mainīgos ar secīgiem eksponentiem, lai x² vispirms rakstīts, pēc tam mainīgie un konstantes. Lūk, kā to izdarīt:

• 4x² - 5x - 13 = x² -5
• 4x² - x² - 5x - 13 +5 = 0
• 3x² - 5x - 8 = 0

2. solis. Pierakstiet kvadrātisko formulu

Kvadrātiskā formula ir šāda: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}

3. solis. Nosakiet a, b un c vērtības no kvadrātvienādojuma

Mainīgais a ir koeficients x², b ir mainīgā x koeficients, un c ir konstante. 3x vienādojumam² -5x -8 = 0, a = 3, b = -5 un c = -8. Pierakstiet visus trīs.

4. solis. Aizstājiet a, b un c vērtības vienādojumā

Kad esat uzzinājis trīs mainīgo vērtības, pievienojiet tās vienādojumam:

• {-b +/- √ (b² - 4ac)}/2
• {-(-5) +/-√ ((-5)² - 4(3)(-8))}/2(3) =
• {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3)

5. solis. Veiciet aprēķinus

Kad esat ievadījis skaitļus, veiciet matemātisku darbu, lai vienkāršotu pozitīvo vai negatīvo zīmi, reiziniet vai kvadrējiet atlikušos mainīgos. Lūk, kā to izdarīt:

• {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3) =
• {5 +/-√(25 + 96)}/6
• {5 +/-√(121)}/6

6. solis. Vienkāršojiet kvadrātsakni

Ja skaitlis zem kvadrātsaknes ir ideāls kvadrāts, jūs iegūstat veselu skaitli. Ja skaitlis nav ideāls kvadrāts, vienkāršojiet to vienkāršākajā saknes formā. Ja skaitlis ir negatīvs un uzskatāt, ka tam jābūt negatīvam, saknes vērtība būs sarežģīta. Šajā piemērā (121) = 11. Jūs varat uzrakstīt x = (5 +/- 11)/6.

Solis 7. Meklējiet pozitīvās un negatīvās atbildes

Kad esat noņēmis kvadrātsaknes zīmi, varat turpināt atrast pozitīvu un negatīvu rezultātu x. Tagad, kad jums ir (5 +/- 11)/6, varat uzrakstīt 2 atbildes:

• (5 + 11)/6
• (5 - 11)/6

8. Pabeigt pozitīvās un negatīvās atbildes

Veiciet matemātiskos aprēķinus:

• (5 + 11)/6 = 16/6
• (5-11)/6 = -6/6

9. solis. Vienkāršojiet

Lai vienkāršotu katru atbildi, daliet to ar lielāko skaitli, kas var dalīt abus skaitļus. Sadaliet pirmo daļu ar 2 un otro ar 6, un jūs atradīsit x vērtību.

• 16/6 = 8/3
• -6/6 = -1
• x = (-1, 8/3)

3. metode no 3: aizpildiet laukumu

1. solis. Pārvietojiet visus mainīgos uz vienādojuma vienu pusi

Pārliecinieties, ka a vai mainīgais x² pozitīvs. Lūk, kā to izdarīt:

• 2x² - 9 = 12x =

• 2x² - 12x - 9 = 0

  Šajā vienādojumā mainīgais a ir 2, mainīgais b ir -12 un mainīgais c ir -9

2. solis. Pārvietojiet mainīgo vai konstanti c uz otru pusi

Konstantes ir skaitliski termini bez mainīgajiem. Pāriet uz vienādojuma labo pusi:

• 2x² - 12x - 9 = 0
• 2x² - 12x = 9

Solis 3. Sadaliet abas puses ar koeficientu a vai mainīgo x².

Ja x² nav mainīga un koeficients ir 1, varat izlaist šo darbību. Šajā gadījumā visi mainīgie jāsadala ar 2, piemēram:

• 2x²/2 - 12x/2 = 9/2 =
• x² - 6x = 9/2

4. solis. Sadaliet b ar 2, kvadrējiet to un pievienojiet rezultātu abām pusēm

Šajā piemērā b vērtība ir -6. Lūk, kā to izdarīt:

• -6/2 = -3 =
• (-3)² = 9 =
• x² - 6x + 9 = 9/2 + 9

Solis 5. Vienkāršojiet abas puses

Faktorizējiet mainīgo kreisajā pusē, lai iegūtu (x-3) (x-3) vai (x-3)². Pievienojiet vērtības pa labi, lai iegūtu 9/2 + 9 vai 9/2 + 18/2, kas ir 27/2.

6. solis. Atrodiet kvadrātsakni abām pusēm

(X-3) kvadrātsakne² ir (x-3). Kvadrātsakni no 27/2 varat ierakstīt kā ± √ (27/2). Tādējādi x - 3 = ± √ (27/2).

7. solis. Vienkāršojiet saknes un atrodiet x vērtību

Lai vienkāršotu ± √ (27/2), atrodiet perfektu kvadrātu starp skaitļiem 27 un 2 vai reiziniet šo skaitli. Ideālo kvadrātu 9 var atrast 27, jo 9 x 3 = 27. Lai no kvadrātsaknes izņemtu 9, izņemiet 9 no saknes un ārpus kvadrātsaknes ierakstiet 3 - kvadrātsakne. Atlikušo 3 atstājiet daļiņas skaitītājā zem kvadrātsaknes, jo 27 neatbilst visiem faktoriem, un pierakstiet 2 zemāk. Pēc tam pārvietojiet konstanti 3 vienādojuma kreisajā pusē pa labi un uzrakstiet abus x risinājumus:

• x = 3 +(√6)/2
• x = 3 - (√6)/2)

Padomi

• Kā redzat, sakņu zīmes pilnībā nepazudīs. Tādējādi skaitītāja mainīgos nevar apvienot (jo tie nav vienādi). Nav jēgas to sadalīt pozitīvā vai negatīvā. Tomēr mēs varam to sadalīt ar vienu un to pašu faktoru, bet TIKAI ja faktori abām konstantēm ir vienādi UN saknes koeficients.
• Ja skaitlis zem kvadrātsaknes nav ideāls kvadrāts, tad pēdējās darbības ir nedaudz atšķirīgas. Šeit ir piemērs:
• Ja b ir pāra skaitlis, formula kļūst par: {-(b/2) +/- (b/2) -ac}/a.