Polinoms satur mainīgo (x) ar jaudu, kas pazīstams kā grāds, un vairākus terminus un/vai konstantes. Faktorizēt polinomu nozīmē sadalīt vienādojumu vienkāršākos vienādojumos, kurus var reizināt. Šī prasme ir 1. algebrā un jaunāka, un to var būt grūti aptvert, ja jūsu matemātikas prasmes nav šajā līmenī.
Solis
Sākt
1. solis. Iestatiet vienādojumu
Kvadrātvienādojuma standarta formāts ir šāds:
cirvis2 + bx + c = 0
Sāciet, sakārtojot vienādojuma terminus no lielākās līdz zemākajai jaudai, tāpat kā šajā standarta formātā. Piemēram:
6 + 6x2 + 13x = 0
Mēs pārkārtosim šo vienādojumu, lai būtu vieglāk strādāt, vienkārši pārvietojot vienumus:
6x2 + 13x + 6 = 0
2. solis. Atrodiet formas faktoru, izmantojot kādu no šīm metodēm
Faktorizējot polinomu, tiek iegūti divi vienkāršāki vienādojumi, kurus var reizināt, lai iegūtu sākotnējo polinomu:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Šajā piemērā (2x + 3) un (3x + 2) ir sākotnējā vienādojuma 6x faktori2 +13x+6.
Solis 3. Pārbaudiet savu darbu
Reiziniet faktorus, kas jums ir. Pēc tam apvienojiet līdzīgus terminus un esat pabeidzis. Sākt ar:
(2x + 3) (3x + 2)
Mēģināsim reizināt terminus, izmantojot PLDT (pirmais - ārā - iekšpusē - pēdējais), kā rezultātā:
6x2 + 4x + 9x + 6
No šejienes mēs varam saskaitīt 4x un 9x, jo tie ir līdzīgi termini. Mēs zinām, ka mūsu faktori ir pareizi, jo iegūstam sākotnējo vienādojumu:
6x2 + 13x + 6
1. metode no 6: Izmēģinājums un kļūda
Ja jums ir diezgan vienkāršs polinoms, jūs, iespējams, varēsit atrast faktorus, vienkārši apskatot tos. Piemēram, pēc prakses daudzi matemātiķi var saprast, ka vienādojums 4x2 + 4x + 1 ir koeficients (2x + 1) un (2x + 1), tikai bieži skatoties. (Tas, protams, nebūs viegli sarežģītākiem polinomiem). Šajā piemērā izmantosim retāk lietotu vienādojumu:
3x2 + 2x - 8
1. solis. Uzrakstiet termina a un termina c faktoru sarakstu
Izmantojot cirvja vienādojuma formātu2 + bx + c = 0, identificējiet terminus a un c un pierakstiet faktorus, kas piemīt abiem terminiem. Par 3x2 + 2x - 8, kas nozīmē:
a = 3, un tam ir faktoru kopums: 1 * 3
c = -8, un tam ir četras faktoru kopas: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 un -1 * 8.
2. solis. Pierakstiet divus iekavu komplektus ar tukšām atstarpēm
Katram vienādojumam jūs aizpildīsit izveidotās tukšās vietas ar konstantēm:
(x) (x)
3. solis. Aizpildiet tukšumus x priekšā ar iespējamiem faktoru pāriem a vērtībai
Terminam a mūsu piemērā 3x2, mūsu piemērā ir tikai viena iespēja:
(3x) (1x)
Solis 4. Aiz x aizpildiet divas tukšās vietas ar konstantes koeficientu pāriem
Pieņemsim, ka mēs izvēlamies 8 un 1. Uzrakstiet tajos:
(3x
8. solis.)(
1. darbība
5. solis. Nosakiet zīmi (plus vai mīnus) starp mainīgo x un skaitli
Atkarībā no sākotnējā vienādojuma zīmēm var būt iespējams meklēt konstantes zīmes. Pieņemsim, ka mēs nosaucam abas konstantes h un k par diviem faktoriem:
Ja cirvis2 + bx + c, tad (x + h) (x + k)
Ja cirvis2 - bx - c vai cirvis2 + bx - c tad (x - h) (x + k)
Ja cirvis2 - bx + c tad (x - h) (x - k)
Mūsu piemērā 3x2 + 2x - 8, zīmes ir šādas: (x - h) (x + k), dodot mums divus faktorus:
(3x + 8) un (x - 1)
6. solis. Pārbaudiet savu izvēli, izmantojot pirmo reizinājumu pēdējā reizinājumā (PLDT)
Pirmais ātrais tests ir noskaidrot, vai vidējam terminam ir vismaz pareizā vērtība. Ja nē, iespējams, esat izvēlējies nepareizus c faktorus. Pārbaudīsim savu atbildi:
(3x + 8) (x - 1)
Reizinot, mēs iegūstam:
3x2 - 3x + 8x - 8
Vienkāršojot šo vienādojumu, pievienojot līdzīgus terminus (-3x) un (8x), mēs iegūstam:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Tagad mēs zinām, ka mums ir jāizmanto nepareizi faktori:
3x2 + 5x - 8 3x2 + 2x - 8
7. solis. Ja nepieciešams, mainiet savu izvēli
Mūsu piemērā izmēģināsim 2 un 4, nevis 1 un 8:
(3x + 2) (x - 4)
Tagad mūsu c termins ir -8, bet mūsu ārējais/iekšējais produkts (3x * -4) un (2 * x) ir -12x un 2x, kas kopā neradīs pareizo b +2x terminu.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
8. solis. Ja nepieciešams, mainiet secību
Mēģināsim nomainīt 2 un 4:
(3x + 4) (x - 2)
Tagad mūsu c termins (4 * 2 = 8) ir pareizs, bet ārējais/iekšējais produkts ir -6x un 4x. Ja mēs tos apvienojam:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Mēs esam diezgan tuvu 2x, ko meklējam, bet apzīmējums ir nepareizs.
9. solis. Ja nepieciešams, vēlreiz pārbaudiet tagus
Mēs izmantosim to pašu secību, bet nomainiet vienādojumus ar mīnusa zīmi:
(3x - 4) (x + 2)
Tagad termins c nav problēma, un pašreizējais ārējais/iekšējais produkts ir (6x) un (-4x). Jo:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Tagad mēs varam izmantot pozitīvo 2x no sākotnējās problēmas. Tiem jābūt pareiziem faktoriem.
2. metode no 6: Sadalīšanās
Šī metode identificēs visus iespējamos terminu a un c faktorus un izmantos tos, lai atrastu pareizos faktorus. Ja skaitļi ir pārāk lieli vai minēšana šķiet laikietilpīga, izmantojiet šo metodi. Izmantosim piemēru:
6x2 + 13x + 6
Solis 1. Reiziniet terminu a ar terminu c
Šajā piemērā a ir 6 un c ir arī 6.
6 * 6 = 36
2. solis. Iegūstiet terminu b, veicot faktoringu un pārbaudot
Mēs meklējam divus skaitļus, kas ir mūsu identificētā produkta a * c faktori un ko papildina arī termins b (13).
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
3. solis. Aizstājiet divus vienādojumā iegūtos skaitļus, pievienojot terminu b
Izmantosim k un h, lai attēlotu divus mūsu esošos skaitļus - 4 un 9:
cirvis2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
Solis 4. Faktorizējiet polinomu, grupējot
Sakārtojiet vienādojumus, lai jūs varētu ņemt lielāko kopējo koeficientu gan pirmajā, gan otrajā termiņā. Faktoru grupai jābūt vienādai. Pievienojiet lielāko kopējo faktoru un ievietojiet to iekavās blakus faktoru grupai; rezultāts ir divi faktori:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
3. metode no 6: trīskāršā spēle
Līdzīgi kā sadalīšanās metode, trīskāršās spēles metode pārbauda iespējamos faktorus, reizinot terminus a un c un izmantojot b vērtību. Mēģiniet izmantot šo vienādojuma piemēru:
8x2 + 10x + 2
Solis 1. Reiziniet terminu a ar terminu c
Tāpat kā parsēšanas metode, tā palīdzēs mums identificēt kandidātus termiņam b. Šajā piemērā a ir 8 un c ir 2.
8 * 2 = 16
2. solis. Atrodiet divus skaitļus, kurus reizinot ar skaitļiem, iegūst šo skaitli ar kopējo summu, kas vienāda ar terminu b
Šis solis ir tāds pats kā parsēšana - mēs pārbaudām un atmetam konstantes kandidātus. Terminu a un c reizinājums ir 16, bet termins c ir 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
3. solis. Ņemiet šos divus skaitļus un pārbaudiet tos, pievienojot tos trīskāršās atskaņošanas formulai
Ņemiet mūsu divus skaitļus no iepriekšējā soļa - sauksim tos par h un k - un pievienojiet tos vienādojumam:
((cirvis + h) (cirvis + k))/ a
Mēs saņemsim:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
4. solis. Ievērojiet, vai kāds no diviem skaitītāja noteikumiem ir dalāms ar a
Šajā piemērā mēs redzējām, vai (8x + 8) vai (8x + 2) dalās ar 8. (8x + 8) dalās ar 8, tāpēc mēs sadalīsim šo terminu ar a un atstāsim pārējos faktorus.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
Šeit iekavās esošais termins ir palicis pēc dalīšanas ar terminu a.
5. solis. Izņemiet viena vai abu terminu lielāko kopējo faktoru (GCF), ja tāds ir
Šajā piemērā otrajam terminam GCF ir 2, jo 8x + 2 = 2 (4x + 1). Apvienojiet šo rezultātu ar terminu, ko saņēmāt no iepriekšējās darbības. Šie ir faktori jūsu vienādojumā.
2 (x + 1) (4x + 1)
4. metode no 6: kvadrātveida sakņu atšķirība
Daži polinomu koeficienti var būt “kvadrāti” vai divu skaitļu reizinājums. Šo kvadrātu identificēšana ļauj ātrāk faktorēt vairākus polinomus. Izmēģiniet šo vienādojumu:
27x2 - 12 = 0
1. solis. Ja iespējams, izņemiet lielāko kopējo faktoru
Šajā gadījumā mēs redzam, ka 27 un 12 dalās ar 3, tāpēc mēs iegūstam:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
2. solis. Nosakiet, vai jūsu vienādojuma koeficienti ir kvadrātveida skaitļi
Lai izmantotu šo metodi, jums jāspēj izmantot abu terminu kvadrātsakni. (Ņemiet vērā, ka mēs ignorēsim negatīvo zīmi - jo šie skaitļi ir kvadrāti, tie var būt divu pozitīvu vai negatīvu skaitļu reizinājums)
9x2 = 3x * 3x un 4 = 2 * 2
Solis 3. Izmantojot iegūto kvadrātsakni, pierakstiet faktorus
Mēs ņemsim a un c vērtības no mūsu iepriekšējā soļa - a = 9 un c = 4, pēc tam atrodam kvadrātsakni - a = 3 un c = 2. Rezultāts ir koeficienta koeficients:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
5. metode no 6: kvadrātiskā formula
Ja viss cits neizdodas un vienādojumu nevar saskaitīt veselu, izmantojiet kvadrātisko formulu. Izmēģiniet šo piemēru:
x2 + 4x + 1 = 0
1. solis. Ievadiet nepieciešamās vērtības kvadrātiskajā formulā:
x = -b ± (b2 - 4ac)
2.a
Mēs iegūstam vienādojumu:
x = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
2. solis. Atrodiet x vērtību
Jūs iegūsit divas vērtības. Kā parādīts iepriekš, mēs saņemam divas atbildes:
x = -2 + (3) vai x = -2 -(3)
3. solis. Izmantojiet savu x vērtību, lai atrastu faktorus
Pievienojiet iegūtās x vērtības abos polinomu vienādojumos kā konstantes. Rezultāts ir jūsu faktori. Ja atbildes saucam par h un k, mēs pierakstām divus faktorus šādi:
(x - h) (x - k)
Šajā piemērā mūsu galīgā atbilde ir šāda:
(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))
6. metode no 6: Kalkulatora izmantošana
Ja jums ir atļauts izmantot kalkulatoru, grafiskais kalkulators ievērojami atvieglo faktoringa procesu, īpaši standartizētiem testiem. Šie norādījumi ir paredzēti TI grafisko kalkulatoru. Mēs izmantosim vienādojuma piemēru:
y = x2 x 2
1. solis. Ievadiet vienādojumu kalkulatorā
Jūs izmantosit vienādojuma faktoringu, kas uz ekrāna ir uzrakstīts [Y =].
2. solis. Uzzīmējiet vienādojumu, izmantojot savu kalkulatoru
Kad esat ievadījis vienādojumu, nospiediet [GRAPH] - jūs redzēsiet vienmērīgu līkni, kas attēlo jūsu vienādojumu (un forma ir līkne, jo mēs izmantojam polinomus).
3. solis. Atrodiet vietu, kur līkne krustojas ar x asi
Tā kā polinomu vienādojumus parasti raksta kā cirvi2 + bx + c = 0, šis krustojums ir otrā x vērtība, kuras dēļ vienādojums ir nulle:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Ja skatoties nevarat noteikt, kur grafiks krustojas ar x asi, nospiediet [2.] un pēc tam [TRACE]. Nospiediet [2] vai izvēlieties nulli. Pārvietojiet kursoru pa kreisi no krustojuma un nospiediet [ENTER]. Pārvietojiet kursoru pa labi no krustojuma un nospiediet [ENTER]. Pārvietojiet kursoru pēc iespējas tuvāk krustojumam un nospiediet [ENTER]. Kalkulators atradīs x vērtību. Dariet to arī citiem krustojumiem
Solis 4. Ievietojiet x vērtību, kas iegūta no iepriekšējā soļa, divu faktoru vienādojumā
Ja mēs nosauktu abas mūsu x vērtības h un k, vienādojumi, kurus mēs izmantotu, būtu šādi:
(x - h) (x - k) = 0
Tādējādi mūsu divi faktori ir:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Padomi
- Ja jums ir TI-84 kalkulators (grafiks), ir programma ar nosaukumu SOLVER, kas atrisinās jūsu kvadrātvienādojumus. Šī programma atrisinās jebkuras pakāpes polinomus.
- Ja termins nav rakstīts, koeficients ir 0. Šādā gadījumā ir lietderīgi pārrakstīt vienādojumu, piemēram: x2 + 6 = x2 +0x+6.
- Ja jūs aprēķinājāt savu polinomu, izmantojot kvadrātisko formulu, un saņēmāt atbildi sakņu izteiksmē, iespējams, vēlēsities pārvērst x vērtību par daļu, lai to pārbaudītu.
- Ja terminam nav rakstiska koeficienta, koeficients ir 1, piemēram: x2 = 1x2.
- Pēc pietiekamas prakses jūs galu galā varēsit faktorēt polinomus savā galvā. Kamēr jūs to nevarat izdarīt, noteikti pierakstiet norādījumus.
