3 veidi, kā atrisināt logaritmus

2024 Autors: Jason Gerald | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-15 08:19

Logaritmus var šķist grūti atrisināt, taču logaritmu problēmu risināšana patiesībā ir daudz vienkāršāka, nekā jūs varētu domāt, jo logaritmi ir tikai vēl viens veids, kā rakstīt eksponenciālos vienādojumus. Kad esat pārrakstījis logaritmu pazīstamākā formā, jums vajadzētu spēt to atrisināt tāpat kā jebkuru citu parastu eksponenciālu vienādojumu.

Solis

Pirms sākat: iemācieties eksponenciāli izteikt logaritmiskos vienādojumus

1. solis. Izprotiet logaritma definīciju

Pirms logaritmisko vienādojumu risināšanas jums ir jāsaprot, ka logaritmi būtībā ir vēl viens veids, kā rakstīt eksponenciālos vienādojumus. Precīza definīcija ir šāda:

• y = žurnāls_b (x)

  Ja un tikai tad, ja: b^g = x

• Atcerieties, ka b ir logaritma pamats. Šai vērtībai jāatbilst šādiem nosacījumiem:

  • b> 0
  • b nav vienāds ar 1
• Vienādojumā y ir eksponents, un x ir logaritmā meklētās eksponenciālās vērtības aprēķināšanas rezultāts.

2. solis. Apsveriet logaritmisko vienādojumu

Aplūkojot problēmas vienādojumu, meklējiet bāzi (b), eksponentu (y) un eksponenciālo (x).

• Piemērs:

  5 = žurnāls₄(1024)

  • b = 4
  • y = 5
  • x = 1024

Solis 3. Pārvietojiet eksponenciālo uz vienādojuma vienu pusi

Pārvietojiet savas pakāpes vērtību x uz vienādības zīmes pusi.

• Piemēram:

  1024 = ?

Solis 4. Ievadiet eksponenta vērtību līdz tās pamatnei

Jūsu bāzes vērtība b ir jāreizina ar tādu pašu vērtību skaitu, ko attēlo eksponents y.

• Piemērs:

  4 * 4 * 4 * 4 * 4 = ?

  Šo vienādojumu var uzrakstīt arī šādi: 4⁵

5. solis. Pārrakstiet savu galīgo atbildi

Tagad jums vajadzētu būt iespējai pārrakstīt logaritmisko vienādojumu kā eksponenciālu vienādojumu. Vēlreiz pārbaudiet savu atbildi, pārliecinoties, ka abām vienādojuma pusēm ir vienāda vērtība.

• Piemērs:

  4⁵ = 1024

1. metode no 3: X vērtības noteikšana

Solis 1. Sadaliet logaritmisko vienādojumu

Veiciet apgriezto aprēķinu, lai pārvietotu uz otru pusi vienādojuma daļu, kas nav logaritmiskais vienādojums.

• Piemērs:

  žurnāls₃(x + 5) + 6 = 10

  • žurnāls₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
  • žurnāls₃(x + 5) = 4

2. solis. Pārrakstiet šo vienādojumu eksponenciālā formā

Izmantojiet to, ko jau zināt par attiecībām starp logaritmiskajiem vienādojumiem un eksponenciālajiem vienādojumiem, un pārrakstiet tos eksponenciālā formā, kas ir vienkāršāka un vieglāk atrisināma.

• Piemērs:

  žurnāls₃(x + 5) = 4

  • Salīdziniet šo vienādojumu ar definīciju [ y = žurnāls_b (x)], tad jūs varat secināt, ka: y = 4; b = 3; x = x + 5
  • Pārrakstiet vienādojumu šādi: b^g = x
  • 3⁴ = x + 5

Solis 3. Atrodiet x vērtību

Kad šī problēma ir vienkāršota līdz eksponenciālajam pamata vienādojumam, jums vajadzētu spēt to atrisināt tāpat kā jebkuru citu eksponenciālo vienādojumu.

• Piemērs:

  3⁴ = x + 5

  • 3 * 3 * 3 * 3 = x + 5
  • 81 = x + 5
  • 81 - 5 = x + 5 - 5
  • 76 = x

4. solis. Pierakstiet savu galīgo atbildi

Galīgā atbilde, ko saņemat, atrodot x vērtību, ir atbilde uz sākotnējo logaritma problēmu.

• Piemērs:

  x = 76

2. metode no 3: X vērtības noteikšana, izmantojot logaritmisko pievienošanas kārtulu

1. solis. Izprotiet logaritmu pievienošanas noteikumus

Pirmā logaritmu īpašība, kas pazīstama kā "logaritmiskās pievienošanas noteikums", nosaka, ka produkta logaritms ir vienāds ar abu vērtību logaritmu summu. Uzrakstiet šo noteikumu vienādojuma formā:

• žurnāls_b(m * n) = žurnāls_b(m) + žurnāls_bn)

• Atcerieties, ka jāpiemēro:

  • m> 0
  • n> 0

2. solis. Sadaliet logaritmu uz vienādojuma vienu pusi

Izmantojiet reversos aprēķinus, lai pārvietotu vienādojuma daļas tā, lai viss logaritmiskais vienādojums atrastos vienā pusē, bet pārējie komponenti - otrā pusē.

• Piemērs:

  žurnāls₄(x + 6) = 2 - žurnāls₄(x)

  • žurnāls₄(x + 6) + žurnāls₄(x) = 2 - žurnāls₄(x) + žurnāls₄(x)
  • žurnāls₄(x + 6) + žurnāls₄(x) = 2

3. solis. Izmantojiet logaritmiskās pievienošanas noteikumu

Ja vienādojumā ir divi logaritmi, varat tos izmantot kopā, izmantojot logaritma noteikumu.

• Piemērs:

  žurnāls₄(x + 6) + žurnāls₄(x) = 2

  • žurnāls₄[(x + 6) * x] = 2
  • žurnāls₄(x² + 6x) = 2

4. solis. Pārrakstiet šo vienādojumu eksponenciālā formā

Atcerieties, ka logaritmi ir tikai vēl viens veids, kā rakstīt eksponenciālos vienādojumus. Izmantojiet logaritmisko definīciju, lai pārrakstītu vienādojumu tādā formā, kuru var atrisināt.

• Piemērs:

  žurnāls₄(x² + 6x) = 2

  • Salīdziniet šo vienādojumu ar definīciju [ y = žurnāls_b (x)], jūs varat secināt, ka: y = 2; b = 4; x = x² + 6x
  • Pārrakstiet šo vienādojumu, lai: b^g = x
  • 4² = x² + 6x

Solis 5. Atrodiet x vērtību

Kad šis vienādojums ir kļuvis par parastu eksponenciālu vienādojumu, izmantojiet to, ko zināt par eksponenciālajiem vienādojumiem, lai atrastu x vērtību kā parasti.

• Piemērs:

  4² = x² + 6x

  • 4 * 4 = x² + 6x
  • 16 = x² + 6x
  • 16 - 16 = x² + 6x - 16
  • 0 = x² + 6x - 16
  • 0 = (x - 2) * (x + 8)
  • x = 2; x = -8

6. solis. Pierakstiet savas atbildes

Šajā brīdī jums vajadzētu saņemt atbildi uz vienādojumu. Ierakstiet savu atbildi tam paredzētajā vietā.

• Piemērs:

  x = 2

• Ņemiet vērā, ka jūs nevarat sniegt negatīvu atbildi par logaritmu, tāpēc varat atbrīvoties no atbildes x - 8.

3. metode no 3: X vērtības noteikšana, izmantojot logaritmiskās dalīšanas kārtulu

1. solis. Izprotiet logaritmiskā dalīšanas noteikumu

Pamatojoties uz otro logaritmu īpašību, kas pazīstama kā "logaritmiskā dalīšanas noteikums", dalījuma logaritmu var pārrakstīt, no skaitītāja atņemot saucēja logaritmu. Uzrakstiet šo vienādojumu šādi:

• žurnāls_b(m/n) = žurnāls_b(m) - žurnāls_bn)

• Atcerieties, ka jāpiemēro:

  • m> 0
  • n> 0

2. solis. Sadaliet logaritmisko vienādojumu uz vienu pusi

Pirms atrisināt logaritmiskos vienādojumus, jums visi logaritmiskie vienādojumi jāpārnes uz vienādības zīmes vienu pusi. Otra vienādojuma puse ir jāpārvieto uz otru pusi. Lai to atrisinātu, izmantojiet reversos aprēķinus.

• Piemērs:

  žurnāls₃(x + 6) = 2 + žurnāls₃(x - 2)

  • žurnāls₃(x + 6) - žurnāls₃(x - 2) = 2 + žurnāls₃(x - 2) - žurnāls₃(x - 2)
  • žurnāls₃(x + 6) - žurnāls₃(x - 2) = 2

Solis 3. Izmantojiet logaritmiskā dalīšanas noteikumu

Ja vienādojumā ir divi logaritmi un viens no tiem ir jāatņem no otra, varat un vajadzētu izmantot dalīšanas noteikumu, lai apvienotu šos divus logaritmus.

• Piemērs:

  žurnāls₃(x + 6) - žurnāls₃(x - 2) = 2

  žurnāls₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

Solis 4. Uzrakstiet šo vienādojumu eksponenciālā formā

Kad ir palicis tikai viens logaritmiskais vienādojums, izmantojiet logaritmisko definīciju, lai to uzrakstītu eksponenciālā formā, izslēdzot žurnālu.

• Piemērs:

  žurnāls₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

  • Salīdziniet šo vienādojumu ar definīciju [ y = žurnāls_b (x)], jūs varat secināt, ka: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
  • Pārrakstiet vienādojumu šādi: b^g = x
  • 3² = (x + 6) / (x - 2)

Solis 5. Atrodiet x vērtību

Kad vienādojums ir eksponenciāls, jums vajadzētu būt iespējai atrast x vērtību kā parasti.

• Piemērs:

  3² = (x + 6) / (x - 2)

  • 3 * 3 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 * (x - 2) = [(x + 6) / (x - 2)] * (x - 2)
  • 9x - 18 = x + 6
  • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
  • 8x = 24
  • 8x / 8 = 24/8
  • x = 3

6. solis. Pierakstiet savu galīgo atbildi

Izpētiet un vēlreiz pārbaudiet aprēķina darbības. Kad esat pārliecināts, ka atbilde ir pareiza, pierakstiet to.

• Piemērs:

  x = 3