Lai gan dažkārt tas var šķist biedējoši, kvadrātsaknes problēma patiesībā nav tik grūti atrisināma. Vienkāršas kvadrātsaknes problēmas parasti var atrisināt tikpat viegli kā reizināšanas un dalīšanas pamata uzdevumus. Sarežģītākiem jautājumiem tas prasa nedaudz papildu pūļu. Bet ar pareizo pieeju jebkuru sarežģītu problēmu var atrisināt. Šajā rakstā mēs palīdzēsim jums atrisināt kvadrātsaknes problēmas, veicot dažas vienkāršas darbības.
Solis
1. daļa no 3: Izpratne par kvadrātiem un kvadrātveida saknēm
Solis 1. Kvadrāts ir skaitlis, kas reizināts ar pašu skaitli
Lai saprastu kvadrātsakni, vispirms ir labi saprast kvadrāta nozīmi. Vienkārši sakot, kvadrāts ir skaitlis, kas reizināts ar pašu skaitli. Piemēram, 3 kvadrāts ir 3 reizes 3 = 9 un 9 kvadrāts ir 9 reizes 9 = 81. Kvadrātu attēlo mazais 2 skaitļa kvadrāta augšējā labajā stūrī - šādi: 32, 92, 1002utt.
Mēģiniet kvadrātveida dažus citus skaitļus, lai pārbaudītu šo koncepciju. Atcerieties, ka skaitļa kvadrātā reizināšana ir skaitļa reizināšana. Jūs pat varat kvadrātveida negatīvos skaitļus. Rezultāts vienmēr būs pozitīvs skaitlis. Piemēram, -82 = -8 × -8 = 64.
Solis 2. Kvadrātsakne ir kvadrāta reciproks
Kvadrātsaknes simbols (√, pazīstams arī kā "radikālais" simbols) būtībā ir simbola pretējs 2. Kad atrodat radikālu, pajautājiet sev: kāds skaitlis, ja tas ir kvadrātā, radītu skaitli radikāļa iekšienē? Piemēram, ja paskatās uz √ (9), atrodiet skaitli, kas kvadrātā ir deviņi. Tādējādi atbilde ir "trīs", jo 32 = 9.
-
Kā citu piemēru mēģināsim atrast kvadrātsakni no 25 (√ (25)). Tas ir, mēs meklējam skaitli, kura kvadrātā rezultāts ir 25. Jo 52 = 5 × 5 = 25, tad (25) =
5. solis..
-
Kvadrātsakni var uzskatīt arī par kvadrāta “atsaukšanu”. Piemēram, ja mēs vēlamies atrast (64), kvadrātsakni no 64, tad domājiet par 64 kā 82. Tā kā kvadrātsaknes simbols būtībā “noliedz” kvadrātveida simbolu, tāpēc (64) = (82) =
8. solis..
3. Ziniet atšķirību starp perfektiem un nepilnīgiem kvadrātiem
Līdz šim mūsu kvadrātsaknes aprēķinu rezultāti bija veseli skaitļi. Jautājumi, ar kuriem jūs saskarsities vēlāk, nebūs tik vienkārši, būs jautājumi ar decimāldaļu atbildēm ar dažiem cipariem aiz komata. Skaitļus, kas ir noapaļoti pēc kvadrāta (tas ir, nevis daļskaitļi vai decimāldaļskaitļi), sauc arī par “perfektiem kvadrātiem”. Visi iepriekšējie piemēri (9, 25 un 64) ir ideāli kvadrāti, jo, ja tie ir kvadrātā, rezultāts ir vesels skaitlis (3, 5 un 8).
No otras puses, skaitļi, kas nav noapaļoti pēc kvadrāta, ir "nepilnīgi kvadrāti". Parasti pēc kvadrāta iegūšanas rezultāts ir daļskaitlis vai decimālskaitlis. Dažreiz pat skaitļi izskatās ļoti sarežģīti, piemēram, (13) = 3, 605551275464…
4. solis. Iegaumējiet skaitļu 1-12 kvadrātu
Kā jūs jau zināt, perfekta kvadrātveida skaitļa kvadrātu veidošana ir ļoti vienkārša. Ciparu 1-12 kvadrātu iegaumēšana var būt ļoti noderīga, jo šie skaitļi daudz parādīsies uzdevumā. Tādējādi jūs ietaupīsit laiku, strādājot ar jautājumiem. Pirmie 12 kvadrātveida skaitļi ir:
-
12 = 1 × 1 =
1. darbība.
-
22 = 2 × 2 =
4. solis.
-
32 = 3 × 3 =
9. solis.
-
42 = 4 × 4 =
16. solis.
-
52 = 5 × 5 =
25. solis.
- 62 = 6 × 6 = 36
- 72 = 7 × 7 = 49
- 82 = 8 × 8 = 64
- 92 = 9 × 9 = 81
- 102 = 10 × 10 = 100
- 112 = 11 × 11 = 121
- 122 = 12 × 12 = 144
Solis 5. Vienkāršojiet kvadrātsakni, noņemot perfektus kvadrātus
Nepilnīga kvadrāta skaitļa kvadrātsaknes atrašana var būt sarežģīta, it īpaši, ja neizmantojat kalkulatoru. Tomēr skaitli, kas jāiekļauj kvadrātā, var vienkāršot, lai būtu vieglāk aprēķināt. Lai to izdarītu, vienkārši atdaliet skaitli radikāļa iekšienē vairākos faktoros, pēc tam noņemiet perfektu kvadrātsakņu kvadrātsakni un uzrakstiet atbildi ārpus radikāļa. Šo metodi ir diezgan viegli izdarīt - lai labāk izprastu, šeit ir vairāk paskaidrojumu:
- Pieņemsim, ka mēs vēlamies aprēķināt kvadrātsakni no 900. Tātad, vienkārši sadaliet 900 tās faktoros. “Faktori” ir skaitļi, kurus var reizināt, lai iegūtu citu skaitli. Piemēram, skaitli 6 var iegūt, reizinot un 1 × 6 un 2 × 3, tāpēc koeficienti 6 ir 1, 2, 3 un 6.
- Paturot prātā šo principu, iedalīsim 900 tā faktoros. Sākumā mēs rakstām 900 kā 9 × 100. Tā kā 9 ir ideāls kvadrāts, mēs varam ņemt kvadrātsakni no 100 atsevišķi. (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100). Citiem vārdiem sakot, (900) = 3√(100).
-
Mēs varam to vēl vairāk vienkāršot, atdalot 100 no tā faktoriem, proti, 25 un 4. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. Tāpēc var aprēķināt (900) = 3 (10) =
30. darbība..
6. solis. Negatīva skaitļa kvadrātsaknei izmantojiet iedomātu skaitli
Padomā, kāds skaitlis, ja rezultāts kvadrātā ir -16? Atbilde, nē. Visi skaitļi kvadrātā rezultāts vienmēr ir pozitīvs, jo tas ir negatīvs (-), reizinot ar negatīvu, rezultāts ir pozitīvs (+). Tātad, lai kvadrātu negatīvu skaitli, mums ir jāaizstāj negatīvais skaitlis ar iedomātu skaitli (parasti burtu vai simbolu veidā). Piemēram, mainīgo "i" parasti izmanto kvadrātsaknei -1. Iedomāts skaitlis vienmēr atrodas negatīvā skaitļa kvadrātsaknē.
Jāatzīmē, ka, lai gan iedomātos skaitļus nekad neatspoguļo skaitļi, tos joprojām var uzskatīt par skaitļiem dažādos veidos. Piemēram, negatīvā skaitļa kvadrātsakni var kvadrātā noņemt, lai noņemtu kvadrātsakni. Piemēram, i2 = - 1
2. daļa no 3: Izmantojiet garā dalījuma stila algoritmu
Solis 1. Atrisiniet kvadrātsaknes problēmas, piemēram, garas dalīšanas problēmas
Lai gan laikietilpīgas, sarežģītas kvadrātsaknes problēmas var atrisināt bez kalkulatora. Lai to izdarītu, mēs izmantosim metodi (vai algoritmu), kas līdzīga garo steku sadalīšanai.
- Sāciet rakstīt kvadrātsaknes problēmu tāpat kā garas dalīšanas problēmu. Kā problēmas piemērs atrodiet sakni 6, 45, kas nav vesels skaitlis. Pirmkārt, mēs uzrakstām radikālo simbolu (√), tad zem tā mēs rakstām skaitli, kura kvadrātu vēlamies iegūt. Pēc tam uzzīmējiet līniju pār cipariem, tāpat kā garo sakraušanas sadalījumu. Tagad simbols "√" izskatās, ka tam ir aste ar skaitli 6,45 apakšā.
- Mēs rakstīsim ciparus virs problēmas, tāpēc noteikti atstājiet tukšu vietu.
Solis 2. Grupējiet skaitļa ciparus pāros
Vispirms grupējiet skaitļa ciparus zem radikāļa pa pāriem, sākot no komata. Starp pāriem izveidojiet sava veida marķieri (punktu, komatu, līniju utt.), Lai to būtu vieglāk izsekot.
Problēmas piemērā 6, 45 tiks sadalīti 6-, 45-00. Atcerieties, ka kreisajā pusē ir "atlikušie" cipari - tā nav problēma.
Solis 3. Atrodiet lielāko skaitli, kura kvadrātiskā vērtība ir mazāka vai vienāda ar pirmo grupu
Sāciet ar pirmo numuru grupā kreisajā pusē. Izvēlieties lielāko skaitli, kura kvadrātiskā vērtība grupā ir mazāka vai vienāda. Piemēram, ja grupā ir 37, tad izvēlieties 6, jo 62 = 36 <37, bet 72 = 49> 37. Uzrakstiet šo skaitli virs pirmās grupas. Šis skaitlis ir jūsu atbildes pirmais cipars.
-
Piemēra uzdevumā pirmā grupa no 6, 45-00 ir 6. Lielākais skaitlis, kas kvadrātā ir mazāks vai vienāds ar 6
2. solis. - 22 = 4. Ierakstiet skaitli "2" virs 6, un aste ir radikāls.
Solis 4. Reiziniet tikko pierakstīto skaitli, tad nolaidiet to un pēc tam atņemiet
Paņemiet atbildes pirmo ciparu (rakstīts virs radikālas) un reiziniet to. Uzrakstiet atbildi zem pirmās grupas un atņemiet, lai atrastu atšķirību. Nometiet nākamo grupu pa labi no tikko aprēķinātās starpības. Visbeidzot, kreisajā pusē ierakstiet savas atbildes pirmā cipara pēdējo ciparu un labajā pusē atstājiet tukšu vietu.
Piemēra uzdevumā divkāršotais skaitlis ir 2 (iepriekšējās atbildes pirmais cipars). 2 × 2 = 4. Pēc tam atņemiet 4 ar 6 (no pirmās grupas). 6 - 4 rezultāts ir 2. Pēc tam nolaidiet nākamo grupu (45), un mēs iegūstam 245. Visbeidzot, vēlreiz ierakstiet skaitli 4 kreisajā pusē un atstājiet nedaudz atstarpes labajā pusē, piemēram: 4_
5. solis. Aizpildiet tukšo vietu
Pievienojiet ciparus pa labi no skaitļa, kuru rakstījāt kreisajā pusē. Izvēlieties ciparu, kas dod lielāko vērtību, reizinot ar šo jauno skaitli, bet joprojām ir mazāks vai vienāds ar “atvasināto skaitli”. Piemēram, ja “atvasinātais skaitlis” ir 1700 un skaitlis kreisajā pusē ir 40_, tad jāievada skaitlis “4”, jo 404 × 4 = 1616 <1700, bet 405 × 5 = 2025. šis solis ir jūsu atbildes otrais cipars, tāpēc uzrakstiet to virs radikālā simbola.
-
Piemēra uzdevumā mēs meklēsim skaitli blakus 4_ × _, kura atbilde ir lielākais skaitlis, bet ir mazāka vai vienāda ar 245. Atbilde ir
5. solis.. 45 × 5 = 225, savukārt 46 × 6 = 276.
6. solis. Turpiniet izmantot “tukšās vietas” numurus, lai atrastu atbildi
Turpiniet garo sakraušanas dalīšanas modeli, līdz starpība starp iegūto skaitļu atņemšanu ir nulle vai ir iegūts diezgan precīzs skaitlis. Kad esat pabeidzis, skaitļi, kurus izmantojāt, aizpildot tukšās vietas katrā solī (plus pats pirmais izmantotais skaitlis), veido katru jūsu atbildes ciparu.
-
Piemēra uzdevumā atņemiet 245 ar 220, lai iegūtu 20. Tālāk mēs pazemināsim nākamo ciparu grupu 00 un iegūsim 2000. Reizinot skaitli virs radikālā simbola, iegūstam 25 × 2 = 50. tukšajās vietās 50_ × _ =/<2 000, mēs iegūstam skaitli
3. solis.. Tagad virs radikālā simbola ir "253" - atkārtojiet šo procesu vēlreiz un nākamajā ciparā iegūstiet 9.
7. solis. Noņemiet decimālo zīmi no izcelsmes vietas
Lai iegūtu galīgo atbildi, ievietojiet aiz komata pareizo pozīciju. Tas ir vienkārši - vienkārši novietojiet decimāldaļu ar līniju aiz komata zem radikālā simbola. Piemēram, skaitlis zem radikāļa ir 49, 8, tāpēc starp cipariem virs 8 un 9 ievietojiet aiz komata.
Problēmas piemērā, ja skaitlis zem radikāļa ir 6, 45, tad aiz komata būs līnija starp cipariem 2 un 5. Tas nozīmē, ka galīgā atbilde ir 2, 539.
3. daļa no 3: Ātri novērtējiet nepilnīgos laukumus
1. solis. Izmantojot tuvinājumu, atrodiet nepilnīgo kvadrātu
Kad esat iegaumējis perfektus kvadrātus, atrast nepilnīgus kvadrātus būs daudz vieglāk. Triks ir atrast perfektu kvadrātu pirms un pēc meklējamā numura. Pēc tam nosakiet, kurš no diviem perfektajiem kvadrātiem ir vistuvāk meklētajam skaitlim.
Piemēram, mēs vēlamies atrast kvadrātsakni no 40. Ideāls kvadrāta skaitlis pirms un pēc 40 ir 62 un 72, kas ir 36 un 49. Tā kā 40 ir lielāks par 36 un mazāks par 49, kvadrātsaknei no 40 jābūt no 6 līdz 7. Skaitlim 40 ir tuvāk 36 nekā 49, tāpēc kvadrātsakne no 40 ir tuvāk 6 Šeit ir daži soļi, lai atrastu precīzu atbildi.
2. solis. Novērtējiet kvadrātsakni līdz vienam ciparam aiz komata
Kad pirms un pēc meklējamā skaitļa esat noteicis divus perfektus kvadrātveida skaitļus, pārējais ir process, lai atrastu atbildei tuvāko skaitli aiz komata. Sāciet ar aprēķināto vienciparu skaitli aiz komata. Šis process tiks atkārtots, līdz saņemsit atbildi ar vēlamo precizitāti.
Problēmas piemērā saprātīga kvadrātsaknes 40 tuvināšana ir 6, 4, jo atbilde, visticamāk, ir tuvāk 6 nekā 7.
Solis 3. Reiziniet savu aprēķināto skaitu ar pašu skaitli
Citiem vārdiem sakot, kvadrējiet savu aptuveno skaitli. Ja jums ir paveicies, rezultāts būs problēmas numurs. Ja nē, turpiniet pievienot vai atņemt skaitļus aiz komata, līdz atrodat kvadrātu, kas ir vistuvāk skaitlim.
- Reiziniet 6, 4 ar 6, 4, lai iegūtu 6, 4 × 6, 4 = 40, 96, kas ir nedaudz virs 40.
- Tā kā sākotnējais eksperiments bija lieks, atņemiet savu tuvinājumu ar vienu ciparu aiz komata, kas ir 6, 3 × 6, 3 = 39, 69. Šis rezultāts ir nedaudz zemāks par problēmu. Tas nozīmē, ka kvadrātsakne no 40 ir starp 6, 3 un 6, 4. Tad, tā kā 39.69 ir tuvāk 40, arī kvadrātsakne no 40 ir tuvāk 6, 3.
4. solis. Nepieciešamības gadījumā turpiniet prognozēšanu
Izmantojiet savu atbildi, ja uzskatāt, ka tā ir pietiekami precīza. Bet, ja nē, vienkārši turpiniet iepriekš minēto aptuveno modeli, līdz atrodat atbildi ar trim vai četriem cipariem aiz komata - jebkurā gadījumā, līdz sasniegsiet vēlamo precizitātes līmeni.
