Kā uzzīmēt kvadrātveida grafiku: 10 soļi (ar attēliem)

2024 Autors: Jason Gerald | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-02-01 14:14

Grafiski attēlojot, kvadrātvienādojums ir formas cirvis² + bx + c vai a (x - h)² + k izveidojiet burtu U vai apgrieztu U līkni, ko sauc par parabolu. Kvadrātvienādojuma attēlošana meklē virsotni, virzienu un bieži vien x un y krustojumu. Diezgan vienkāršu kvadrātvienādojumu gadījumā var pietikt ar x vērtību kopas ievadīšanu un līknes uzzīmēšanu, pamatojoties uz rezultatīvajiem punktiem. Lai sāktu, skatiet 1. darbību.

Solis

1. solis. Nosakiet sava kvadrātvienādojuma formu

Kvadrātvienādojumus var uzrakstīt trīs dažādās formās: vispārējā formā, virsotņu formā un kvadrātiskajā formā. Kvadrātvienādojuma grafikēšanai varat izmantot jebkuru formu; katra grafika attēlošanas process ir nedaudz atšķirīgs. Ja pildāt mājasdarbus, jūs parasti saņemsit jautājumus vienā no šīm divām formām - citiem vārdiem sakot, jūs nevarēsit izvēlēties, tāpēc vislabāk ir saprast abus. Divas kvadrātvienādojuma formas ir:

• Vispārējā forma.

  Šajā formā kvadrātvienādojums tiek rakstīts šādi: f (x) = ax² + bx + c kur a, b un c ir reāli skaitļi un a nav nulle.

  Piemēram, divi vispārējās formas kvadrātvienādojumi ir f (x) = x² + 2x + 1 un f (x) = 9x² + 10x -8.

• Maksimālā forma.

  Šajā formā kvadrātvienādojums tiek uzrakstīts šādi: f (x) = a (x - h)² + k kur a, h un k ir reāli skaitļi un a nav nulle. To sauc par virsotnes formu, jo h un k nekavējoties sniegs jūsu parabolas virsotni (viduspunktu) punktā (h, k).

  Abi virsotņu formas vienādojumi ir f (x) = 9 (x - 4)² + 18 un -3 (x - 5)² + 1

• Lai noformētu jebkura veida vienādojumu, vispirms jāatrod paraboles virsotne, kas ir viduspunkts (h, k) līknes beigās. Pīķu koordinātas vispārējā formā aprēķina šādi: h = -b/2a un k = f (h), bet pīķa formā h un k ir vienādojumā.

2. solis. Definējiet mainīgos

Lai atrisinātu kvadrātisko uzdevumu, parasti ir jānosaka mainīgie a, b un c (vai a, h un k). Parastā algebra problēma sniegs kvadrātvienādojumu ar pieejamajiem mainīgajiem, parasti vispārējā formā, bet dažreiz pīķa formā.

• Piemēram, vispārējas formas vienādojumam f (x) = 2x² + 16x + 39, mums ir a = 2, b = 16 un c = 39.
• Pīķa formas vienādojumam f (x) = 4 (x - 5)² + 12, mums ir a = 4, h = 5 un k = 12.

3. solis. Aprēķiniet h

Virsotņu formulas vienādojumā jūsu h vērtība jau ir norādīta, bet vispārējā formas vienādojumā jāaprēķina h vērtība. Atcerieties, ka vispārējas formas vienādojumiem h = -b/2a.

• Mūsu vispārējās formas piemērā (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Pēc atrisināšanas mēs atklājam, ka h = - 4.
• Mūsu virsotnes formas piemērā (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), mēs zinām, ka h = 5, neveicot matemātiku.

Solis 4. Aprēķiniet k

Tāpat kā h, k jau ir zināms pīķa formas vienādojumā. Vispārīgas formas vienādojumiem atcerieties, ka k = f (h). Citiem vārdiem sakot, jūs varat atrast k, aizstājot visas vienādojuma x vērtības ar tikko atrastajām h vērtībām.

• Mēs jau savā vispārējās formas piemērā esam noteikuši, ka h = -4. Lai atrastu k, mēs atrisinām mūsu vienādojumu, x vietā pievienojot h vērtību:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32–64 + 39 =

    7. solis.

• Mūsu maksimālās formas piemērā mēs atkal zinām k vērtību (kas ir 12), neveicot nekādas matemātikas.

5. solis. Uzzīmējiet maksimumu

Jūsu parabola virsotne ir punkts (h, k)-h apzīmē x koordinātu, bet k apzīmē y koordinātu. Virsotne ir jūsu parabolas viduspunkts - vai nu U apakšā, vai apgrieztā U augšdaļā. Virsotņu zināšana ir svarīga precīzas parabolas zīmēšanas sastāvdaļa - bieži vien skolas darbā virsotnes noteikšana ir tā daļa, kas jāmeklē jautājumā.

• Mūsu vispārējās formas piemērā mūsu maksimums ir (-4, 7). Tādējādi mūsu parabola kulmināciju sasniegs 4 soļus pa kreisi no 0 un 7 soļiem augstāk (0, 0). Mums ir jāattēlo šis punkts mūsu grafikā, noteikti atzīmējot koordinātas.
• Mūsu virsotnes formas piemērā mūsu virsotne ir (5, 12). Mums ir jāzīmē punkts 5 soļi pa labi un 12 soļi augstāk (0, 0).

6. solis. Uzzīmējiet paraboles asi (pēc izvēles)

Parabolas simetrijas ass ir līnija, kas iet caur tās centru, sadalot to tieši vidū. Uz šīs ass parabolas kreisā puse atspoguļos labo pusi. Kvadrātvienādojumiem cirvja formā² + bx + c vai a (x - h)² + k, simetrijas ass ir līnija, kas ir paralēla y asij (citiem vārdiem sakot, tieši vertikāla) un iet caur virsotni.

Mūsu vispārējās formas piemēra gadījumā ass ir līnija, kas ir paralēla y asij un iet caur punktu (-4, 7). Pat ja tā nav daļa no parabolas, plānā šīs līnijas atzīmēšana grafikā galu galā palīdzēs jums redzēt parabolas līknes simetrisko formu

7. Atrast parabolas atvēršanās virzienu

Pēc paraboles virsotnes un ass zināšanas mums jāzina, vai parabole atveras vai pazeminās. Par laimi, tas ir viegli. Ja a vērtība ir pozitīva, parabola atveras uz augšu, turpretī, ja a vērtība ir negatīva, tad parabola atveras uz leju (t.i., parabola tiks apgriezta otrādi).

• Mūsu vispārējās formas piemērā (f (x) = 2x² + 16x + 39), mēs zinām, ka mums ir parabola, kas atveras, jo mūsu vienādojumā a = 2 (pozitīvs).
• Mūsu virsotnes formas piemērā (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), mēs zinām, ka mums ir arī parabola, kas atveras, jo a = 4 (pozitīvs).

8. solis. Ja nepieciešams, atrodiet un uzzīmējiet x-pārtvērumu

Bieži skolas darbos jums tiks lūgts atrast x-pārtveršanu parabolā (tas ir viens vai divi punkti, kur parabola sakrīt ar x asi). Pat ja jūs to neatrodat, šie divi punkti ir ļoti svarīgi, lai uzzīmētu precīzu parabolu. Tomēr ne visām parabolām ir x-pārtveršana. Ja jūsu parabolei ir virsotne, kas atveras un tās virsotne atrodas virs x ass vai ja tā atveras uz leju un tās virsotne atrodas zem x ass, parabolai nebūs x-pārtveršanas. Pretējā gadījumā atrisiniet x pārtveršanu vienā no šiem veidiem:

• Vienkārši izveidojiet f (x) = 0 un atrisiniet vienādojumu. Šo metodi var izmantot vienkāršiem kvadrātvienādojumiem, īpaši pīķa formā, bet sarežģītiem vienādojumiem būs ļoti grūti. Piemēru skatiet tālāk

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Sakne (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 un 13 ir parabolas x-krustojums.

• Faktorējiet savu vienādojumu. Daži vienādojumi cirvja formā² + bx + c var viegli iekļaut formā (dx + e) (fx + g), kur dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx un e × g = c. Šajā gadījumā jūsu x-pārtveršanas vietas ir x vērtības, kas iekavās padarīs jebkuru terminu = 0. Piemēram:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Šajā gadījumā jūsu vienīgā x -pārtveršana ir -1, jo, padarot x vienādu -1, jebkurš iekavās esošais faktora termins būs vienāds ar 0.

• Izmantojiet kvadrātisko formulu. Ja nevarat viegli atrisināt savu x-pārtveršanu vai koeficientu vienādojumam, izmantojiet īpašu vienādojumu, ko sauc par kvadrātisko formulu, kas tika izveidota šim nolūkam. Ja tas vēl nav atrisināts, konvertējiet vienādojumu uz formu ax² + bx + c, pēc tam ievadiet a, b un c formulā x = (-b +/- sqrt (b)² - 4ac))/2a. Ņemiet vērā, ka šī metode bieži sniedz divas atbildes uz x vērtību, kas ir labi-tas tikai nozīmē, ka jūsu parabolai ir divi x-pārtverumi. Piemēru skatiet tālāk.

  • -5x² + 1x + 10 tiek ievietota kvadrātiskajā formulā šādi:
  • x = (-1 +/- sakne (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- sakne (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- sakne (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) un (-15, 18/-10). Parabolē esošais x-krustojums ir x = - 1, 318 un 1, 518
  • Mūsu iepriekšējais vispārējās formas piemērs, 2x² +16x+39 tiek ievietots kvadrātiskajā formulā šādi:
  • x = (-16 +/- sakne (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- sakne (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- sakne (-56)/-10
  • Tā kā nav iespējams atrast negatīvā skaitļa kvadrātsakni, mēs zinām, ka šī parabola nav x-pārtveršanas.

9. solis. Ja nepieciešams, atrodiet un uzzīmējiet y krustojumu

Lai gan bieži vien nav nepieciešams meklēt y-pārtveršanu vienādojumos (punkts, kur parabola iet caur y asi), galu galā jums tas, iespējams, būs jāatrod, it īpaši, ja esat skolā. Process ir diezgan vienkāršs-vienkārši izveidojiet x = 0, pēc tam atrisiniet vienādojumu f (x) vai y, kas norāda y vērtību, kur jūsu parabola iet caur y asi. Atšķirībā no x krustojuma, parastā parabolā var būt tikai viena y pārtverta vieta. Piezīme-vispārējas formas vienādojumiem y krustojums ir pie y = c.

• Piemēram, mēs zinām, ka mūsu kvadrātiskais vienādojums ir 2x² + 16x + 39 ir y krustojums pie y = 39, bet to var atrast arī šādā veidā:

  • f (x) = 2x² +16x+39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Parabolas y krustpunkts atrodas plkst y = 39.

    Kā minēts iepriekš, y-pārtveršana atrodas pie y = c.

• Mūsu virsotņu vienādojuma forma ir 4 (x - 5)² + 12 ir y-pārtveršana, ko var atrast šādā veidā:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Parabolas y krustpunkts atrodas plkst y = 112.

10. solis. Ja nepieciešams, uzzīmējiet papildu punktus, pēc tam uzzīmējiet grafiku

Tagad jūsu vienādojumā ir virsotne, virziens, x-pārtveršana un, iespējams, y-pārtveršana. Šajā posmā jūs varat mēģināt uzzīmēt savu parabolu, izmantojot norādījumus, vai arī meklēt citus punktus, lai aizpildītu savu parabolu, lai zīmētā līkne būtu precīzāka. Vienkāršākais veids, kā to izdarīt, ir vienkārši ievadīt dažas x vērtības jebkurā virsotnes pusē, pēc tam uzzīmēt šos punktus, izmantojot iegūtās y vērtības. Bieži vien skolotāji lūdz jums meklēt vairākus punktus pirms parabolas zīmēšanas.

• Apskatīsim vienādojumu x² + 2x + 1. Mēs jau zinām, ka x -pārtveršana ir tikai pie x = -1. Tā kā līkne pieskaras tikai x punktam vienā punktā, varam secināt, ka virsotne ir tā x krustojums, kas nozīmē, ka virsotne ir (-1, 0). Mums faktiski ir tikai viens punkts šai parabolai - nepietiek, lai uzzīmētu labu parabolu. Meklēsim dažus citus punktus, lai pārliecinātos, ka zīmējam pamatīgu grafiku.

  • Atradīsim y vērtības šādām x vērtībām: 0, 1, -2 un -3.
  • Attiecībā uz 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Mūsu punkts ir (0, 1).

  • 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Mūsu punkts ir (1, 4).

  • -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Mūsu punkts ir (-2, 1).

  • Attiecībā uz -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Mūsu punkts ir (-3, 4).

  • Zīmējiet šos punktus grafikā un uzzīmējiet U formas līkni. Ņemiet vērā, ka parabola ir pilnīgi simetriska - ja jūsu punkti vienā parabolas pusē ir veseli skaitļi, jūs parasti varat samazināt darbu, vienkārši atspoguļojot noteiktu punktu uz paraboles simetrijas ass, lai atrastu to pašu punktu paraboles otrā pusē.

Padomi

• Noapaļojiet skaitļus vai izmantojiet frakcijas atbilstoši jūsu algebra skolotāja pieprasījumam. Tas palīdzēs jums labāk attēlot kvadrātvienādojumu.
• Ņemiet vērā, ka f (x) = ax² + bx + c, ja b vai c ir vienāds ar nulli, šie skaitļi pazudīs. Piemēram, 12x² + 0x + 6 kļūst par 12x² + 6, jo 0x ir 0.