Divas frakcijas ir līdzvērtīgas, ja tām ir vienāda vērtība. Zināt, kā pārvērst frakcijas līdzvērtīgās formās, ir ārkārtīgi svarīga matemātikas prasme, kas nepieciešama visiem matemātikas veidiem, sākot no pamata algebras līdz uzlabotajam aprēķinam. Šajā rakstā tiks sniegti vairāki veidi, kā aprēķināt līdzvērtīgas daļiņas no pamata reizināšanas un dalīšanas līdz sarežģītākiem līdzvērtīgu daļskaitļu vienādojumu risināšanas veidiem.
Solis
1. metode no 5: ekvivalentu frakciju sakārtošana
Solis 1. Reiziniet skaitītāju un saucēju ar vienu un to pašu skaitli
Divām dažādām, bet līdzvērtīgām daļām pēc definīcijas ir skaitītājs un saucējs, kas ir viens otrs. Citiem vārdiem sakot, reizinot skaitļa skaitītāju un saucēju ar vienu un to pašu skaitli, tiks iegūtas līdzvērtīgas daļas. Lai gan skaitļi jaunajā frakcijā būs atšķirīgi, daļām būs vienāda vērtība.
- Piemēram, ja mēs ņemam daļu 4/8 un reizinām skaitītāju un saucēju ar 2, iegūstam (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Šīs divas frakcijas ir līdzvērtīgas.
- (4 × 2)/(8 × 2) faktiski ir tāds pats kā 4/8 × 2/2. Atcerieties, ka, reizinot divas frakcijas, mēs reizinām taisni, kas nozīmē skaitītāju ar skaitītāju un saucēju ar saucēju.
- Ņemiet vērā, ka, sadalot, 2/2 ir vienāds ar 1. Tādējādi ir vieglāk saprast, kāpēc 4/8 un 8/16 ir līdzvērtīgi, jo reizinot 4/8 × (2/2) = paliek 4/8. Tādā pašā veidā tas ir tas pats, kas teikt 4/8 = 8/16.
- Jebkurai dotajai daļai ir bezgalīgs līdzvērtīgu daļu skaits. Jūs varat reizināt gan skaitītāju, gan saucēju ar jebkuru veselu skaitli neatkarīgi no tā lieluma vai mazā, lai iegūtu līdzvērtīgu daļu.
2. solis. Sadaliet skaitītāju un saucēju ar vienu un to pašu skaitli
Tāpat kā reizināšanu, dalīšanu var izmantot arī, lai atrastu jaunu daļu, kas ir līdzvērtīga jūsu sākotnējai daļai. Vienkārši sadaliet frakcijas skaitītāju un saucēju ar vienu un to pašu skaitli, lai iegūtu līdzvērtīgu daļu. Šim procesam ir viens trūkums - pēdējai daļai ir jābūt veseliem skaitļiem gan skaitītājā, gan saucējā, lai tā būtu patiesa.
Piemēram, atskatīsimies uz 4/8. Ja reizināšanas vietā dalām skaitītāju un saucēju ar 2, iegūstam (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 un 4 ir veseli skaitļi, tāpēc šīs ekvivalentās daļas ir patiesas
2. metode no 5: Pamata reizināšanas izmantošana vienlīdzības noteikšanai
1. solis. Atrodiet skaitli, kas jāreizina ar mazāko saucēju, lai iegūtu lielāku saucēju
Daudzas ar frakcijām saistītas problēmas nosaka, vai divas frakcijas ir līdzvērtīgas. Aprēķinot šo skaitli, jūs varat sākt pielīdzināt daļskaitļus, lai noteiktu vienlīdzību.
- Piemēram, atkārtoti izmantojiet frakcijas 4/8 un 8/16. Mazākais saucējs ir 8, un mums ir jāreizina skaitlis ar 2, lai iegūtu lielāku saucēju, kas ir 16. Tātad skaitlis šajā gadījumā ir 2.
- Sarežģītākiem skaitļiem varat sadalīt lielāko saucēju ar mazāko saucēju. Šajā gadījumā 16 tiek dalīts ar 8, kas joprojām dod 2.
- Skaitlis ne vienmēr ir vesels skaitlis. Piemēram, ja saucēji ir 2 un 7, tad skaitlis ir 3, 5.
Solis 2. Reiziniet tās daļas skaitītāju un saucēju, kuram ir mazāks termins, ar skaitli no pirmā soļa
Divām dažādām, bet līdzvērtīgām daļām pēc definīcijas ir skaitītājs un saucējs, kas ir viens no otra. Citiem vārdiem sakot, reizinot skaitļa skaitītāju un saucēju ar vienu un to pašu skaitli, tiks iegūta līdzvērtīga daļa. Lai gan skaitļi šajā jaunajā frakcijā būs atšķirīgi, šīm daļām būs vienāda vērtība.
Piemēram, ja mēs izmantojam daļiņu 4/8 no pirmā soļa un reizinām skaitītāju un saucēju ar skaitli, kuru mēs definējām iepriekš, kas ir 2, mēs iegūstam (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Šis rezultāts pierāda, ka šīs divas frakcijas ir līdzvērtīgas.
3. metode no 5: Pamatnodaļas izmantošana vienlīdzības noteikšanai
1. solis. Katru daļu saskaitiet kā decimāldaļu
Vienkāršām daļām bez mainīgajiem, lai noteiktu vienlīdzību, katru frakciju var attēlot kā decimāldaļu. Tā kā katra daļa faktiski ir dalīšanas problēma, tas ir vienkāršākais veids, kā noteikt vienlīdzību.
- Piemēram, izmantojiet iepriekš izmantoto daļiņu, 4/8. Frakcija 4/8 ir līdzvērtīga teikšanai 4 dalīta ar 8, kas ir 4/8 = 0,5. Varat arī atrisināt otru piemēru, kas ir 8/16 = 0.5. Neatkarīgi no daļskaitļa nosacījumiem, daļa ir līdzvērtīga ja abi skaitļi ir vienādi, ja tos attēlo decimāldaļās.
- Paturiet prātā, ka decimāldaļās var būt vairāki cipari, pirms vienlīdzība ir acīmredzama. Kā pamata piemērs 1/3 = 0,333 atkārtojas, bet 3/10 = 0,3. Izmantojot vairāk nekā vienu ciparu, mēs redzam, ka šīs divas frakcijas nav līdzvērtīgas.
Solis 2. Sadaliet skaitļa skaitītāju un saucēju ar vienu un to pašu skaitli, lai iegūtu līdzvērtīgu daļu
Sarežģītākām frakcijām dalīšanas metode prasa papildu darbības. Tā kā reizinot, jūs varat dalīt daļskaitītāju un saucēju ar vienu un to pašu skaitli, lai iegūtu līdzvērtīgu daļu. Šim procesam ir viens trūkums. Pēdējai daļai skaitītājā un saucējā jābūt veseliem skaitļiem, lai tā būtu patiesa.
Piemēram, atskatīsimies uz 4/8. Ja reizināšanas vietā dalām skaitītāju un saucēju ar 2, iegūstam (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 un 4 ir veseli skaitļi, tāpēc šīs ekvivalentās daļas ir patiesas.
Solis 3. Vienkāršojiet frakcijas līdz to vienkāršākajiem noteikumiem
Lielākā daļa frakciju parasti tiek rakstītas vienkāršākajā veidā, un jūs varat pārvērst frakcijas vienkāršākajā formā, dalot tās ar lielāko kopējo faktoru (GCF). Šis solis tiek veikts tādā pašā loģikā kā ekvivalentu frakciju rakstīšana, pārvēršot tos vienā saucējā, taču šī metode mēģina vienkāršot katru frakciju pēc iespējas mazākos vārdos.
- Ja daļa ir vienkāršākajā formā, skaitītājam un saucējam ir pēc iespējas mazākas vērtības. Abus nevar dalīt ar veselu skaitli, lai iegūtu mazāku vērtību. Lai pārvērstu daļu, kas nav tās vienkāršākajā formā, tās vienkāršākajā ekvivalentā formā, mēs dalām skaitītāju un saucēju ar to lielāko kopējo faktoru.
-
Skaitītāja un saucēja lielākais kopējais faktors (GCF) ir lielākais skaitlis, kas tos sadala, lai iegūtu veselu skaitli. Tātad, mūsu 4/8 piemērā, jo
4. solis. ir lielākais skaitlis, kas dalās ar 4 un 8, mēs sadalīsim savas daļas skaitītāju un saucēju ar 4, lai iegūtu vienkāršākos terminus. (4 4)/(8 4) = 1/2. Citam mūsu piemēram, 8/16, GCF ir 8, kas arī atgriež vērtību 1/2 kā vienkāršāko frakcijas izteiksmi.
4. metode no 5: Šķērsproduktu izmantošana mainīgo atrašanai
Solis 1. Sakārtojiet abas frakcijas tā, lai tās būtu vienādas viena ar otru
Mēs izmantojam krustenisko reizināšanu matemātikas uzdevumos, kur zinām, ka daļas ir līdzvērtīgas, bet viens no skaitļiem ir aizstāts ar mainīgo (parasti x), kas mums jāatrisina. Šādos gadījumos mēs zinām, ka šīs frakcijas ir līdzvērtīgas, jo tās ir vienīgās vienādības zīmes otrā pusē, taču bieži vien veids, kā atrast mainīgo, nav acīmredzams. Par laimi, izmantojot krustenisko reizināšanu, šāda veida problēmu risināšana ir vienkārša.
2. solis. Paņemiet divas līdzvērtīgas frakcijas un reiziniet tās ar “X” formu
Citiem vārdiem sakot, jūs reizināt vienas frakcijas skaitītāju ar citas frakcijas saucēju un otrādi, pēc tam sakārtojiet abas atbildes, lai tās sakristu un atrisinātu.
Ņemiet mūsu divus piemērus - 4/8 un 8/16. Nevienam no tiem nav mainīga lieluma, taču mēs varam pierādīt koncepciju, jo mēs jau zinām, ka tie ir līdzvērtīgi. Reizinot, mēs iegūstam 4/16 = 8 x 8 vai 64 = 64, kas ir taisnība. Ja šie divi skaitļi nav vienādi, tad daļas nav līdzvērtīgas
3. solis. Pievienojiet mainīgos
Tā kā krusteniskā reizināšana ir vienkāršākais veids, kā noteikt līdzvērtīgas frakcijas, kad jāatrod mainīgie, pievienosim mainīgos.
-
Piemēram, izmantosim vienādojumu 2/x = 10/13. Lai reizinātu reizināšanu, mēs reizinām 2 ar 13 un 10 ar x, pēc tam iestatām atbildes vienādām:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. No šejienes atbildes atrašana uz mūsu mainīgo ir vienkārša algebra problēma. x = 26/10 = 2, 6, padarot sākotnējo ekvivalento daļu 2/2, 6 = 10/13.
4. solis. Izmantojiet krustu reizināšanu vairāku mainīgo daļām vai mainīgām izteiksmēm
Viena no labākajām krustošanas reizināšanas lietām ir tā, ka tā faktiski darbojas vienādi neatkarīgi no tā, vai strādājat ar divām vienkāršām daļām (kā norādīts iepriekš) vai sarežģītākām daļām. Piemēram, ja abām frakcijām ir mainīgie, jums tie ir jālikvidē tikai risināšanas procesā. Līdzīgi, ja jūsu frakcijas skaitītājam vai saucējam ir mainīga izteiksme (piemēram, x + 1), vienkārši "reiziniet" to, izmantojot izplatīšanas īpašību, un atrisiniet to kā parasti.
-
Piemēram, izmantosim vienādojumu ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4). Šajā gadījumā, kā minēts iepriekš, mēs to atrisināsim, izmantojot savstarpēju produktu:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, tad mēs varam vienkāršot daļu, atņemot 2x no abām pusēm
- 2 = 2x + 12, tad mēs izolējam mainīgo, atņemot 12 no abām pusēm
- -10 = 2x un daliet ar 2, lai atrastu x
- - 5 = x
5. metode no 5: Kvadrātformulu izmantošana mainīgo atrašanai
1. solis. Šķērsojiet abas frakcijas
Attiecībā uz vienlīdzības problēmām, kurām nepieciešama kvadrātiskā formula, mēs joprojām sākam, izmantojot šķērsproduktu. Tomēr jebkurš šķērsprodukts, kas ietver mainīgā terminu reizināšanu ar cita mainīgā lielumu, visticamāk, radīs izteiksmi, kuru nevar viegli atrisināt, izmantojot algebru. Šādos gadījumos jums, iespējams, būs jāizmanto tādas metodes kā faktorings un/vai kvadrātiskās formulas.
-
Piemēram, apskatīsim vienādojumu ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)). Pirmkārt, reizināsim:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
2. solis. Uzrakstiet vienādojumu kā kvadrātvienādojumu
Šajā sadaļā mēs vēlamies uzrakstīt šo vienādojumu kvadrātiskā formā (ax2 + bx + c = 0), ko mēs darām, iestatot vienādojumu vienādu ar nulli. Šajā gadījumā mēs atņemam 12 no abām pusēm, lai iegūtu 2x2 - 14 = 0.
Dažas vērtības var būt vienādas ar 0. Pat ja 2x2 - 14 = 0 ir vienkāršākā mūsu vienādojuma forma, reālais kvadrātiskais vienādojums ir 2x2 + 0x + (-14) = 0. Sākumā var būt noderīgi pierakstīt kvadrātvienādojuma formu pat tad, ja dažas vērtības ir vienādas ar 0.
Solis 3. Atrisiniet, pievienojot skaitļus no kvadrātvienādojuma kvadrātiskajā formulā
Kvadrātiskā formula (x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a) palīdzēs mums atrast mūsu x vērtību šajā sadaļā. Nebaidieties no formulas garuma. Jūs vienkārši ņemat vērtības no kvadrātvienādojuma otrajā solī un ievietojat tās pareizajās vietās pirms to risināšanas.
- x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a. Mūsu vienādojumā 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0 un c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- (0 - -112))/2 (2)
- x = (+/- (112))/2 (2)
- x = (+/- 10,58/4)
- x = +/- 2, 64
4. solis. Pārbaudiet savu atbildi, atkārtoti ievadot x vērtību kvadrātvienādojumā
Pievienojot aprēķināto x vērtību atpakaļ kvadrātvienādojumā no otrā soļa, jūs varat viegli noteikt, vai atbilde ir pareiza. Šajā piemērā 2, 64 un -2, 64 pievienosit sākotnējam kvadrātvienādojumam.
Padomi
- Frakcijas pārvēršana par ekvivalentu patiesībā ir daļa, kas reizināta ar 1. Pārrēķinot 1/2 uz 2/4, skaitītāju un saucēju reizinot ar 2, ir tas pats, kas reizināt 1/2 ar 2/2, kas ir vienāds ar 1.
-
Ja vēlaties, pārveidojiet jaukto skaitli par kopējo daļu, lai atvieglotu konvertēšanu. Protams, ne visas frakcijas, ar kurām jūs saskaraties, nebūs tik vienkāršas kā mūsu 4/8 piemēra pārveidošana iepriekš. Piemēram, jaukti skaitļi (piemēram, 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 utt.) Var padarīt konversijas procesu nedaudz sarežģītāku. Ja jums ir jāpārvērš jaukts skaitlis par kopīgu daļu, to var izdarīt divos veidos: pārvēršot jaukto skaitli par parasto daļu, pēc tam pārvēršot to kā parasti, vai saglabājot jaukto skaitļu formu un saņemot atbildes jauktu skaitļu veidā.
- Lai pārvērstu par parasto daļu, jaukto skaitļu veselo skaitļu komponentu reiziniet ar daļskaitļa komponenta saucēju un pēc tam pievienojiet skaitītājam. Piemēram, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. Pēc tam, ja vēlaties, varat to mainīt pēc vajadzības. Piemēram, 5/3 × 2/2 = 10/6, kas paliek vienāds ar 1 2/3.
- Tomēr mums tas nav jāpārvērš par kopīgu daļu, kā norādīts iepriekš. Pretējā gadījumā mēs atstājam veselu skaitļu komponentu atsevišķi, mainām tikai daļskaitli un pievienojam veselu skaitļu komponentu nemainītu. Piemēram, attiecībā uz 3 4/16 mēs redzam tikai 4/16. 4/16 4/4 = 1/4. Tātad, pievienojot atpakaļ mūsu veselo skaitļu komponentus, mēs iegūstam jaunu jauktu skaitli, 3 1/4.
Brīdinājums
- Reizināšanu un dalīšanu var izmantot, lai iegūtu līdzvērtīgas daļas, jo reizināšana un dalīšana ar skaitļa 1 daļskaitli (2/2, 3/3 utt.) Dod atbildi, kas pēc definīcijas ir līdzvērtīga sākotnējai daļai. Summēšanu un atņemšanu nevar izmantot.
-
Lai gan reizinot skaitļus, jūs reizināt skaitītājus un saucējus, saskaitot vai atņemot daļskaitļus, jūs tos nepievienojat un neatņemat.
Piemēram, iepriekš mēs zinām, ka 4/8 4/4 = 1/2. Ja saskaitām par 4/4, iegūstam pavisam citu atbildi. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 vai 3/2, tie nav vienādi ar 4/8.
