Saknes forma ir algebrisks apgalvojums, kuram ir kvadrātsaknes zīme (vai kuba sakne vai augstāka). Šī veidlapa bieži var attēlot divus skaitļus, kuriem ir vienāda vērtība, lai gan no pirmā acu uzmetiena tie var šķist atšķirīgi (piemēram, 1/(kv. (2) - 1) = kv. (2) +1). Tāpēc šāda veida veidlapām mums ir nepieciešama "standarta formula". Ja standarta formulā ir divi apgalvojumi, kas šķiet atšķirīgi, tie nav vienādi. Matemātiķi piekrīt, ka kvadrātveida formas standarta formulējums atbilst šādām prasībām:
- Izvairieties no frakciju izmantošanas
- Nelietojiet daļējas pilnvaras
- Izvairieties izmantot saknes formu saucējā
- Nesatur divu sakņu formu reizināšanu
- Skaitļus zem saknes vairs nevar sakņot
Viens praktisks pielietojums ir eksāmeni ar atbilžu variantiem. Kad atrodat atbildi, bet jūsu atbilde nav tāda pati kā pieejamās iespējas, mēģiniet to vienkāršot standarta formulā. Tā kā jautājumu veidotāji parasti raksta atbildes standarta formulās, dariet to pašu ar savām atbildēm, lai tās atbilstu viņu atbildēm. Esejas jautājumos tādas komandas kā "vienkāršot atbildi" vai "vienkāršot visas saknes" nozīmē, ka studentiem jāveic šādas darbības, līdz viņi atbilst standarta formulai, kā norādīts iepriekš. Šo soli var izmantot arī vienādojumu risināšanai, lai gan dažus vienādojumu veidus ir vieglāk atrisināt nestandarta formulās.
Solis
1. solis. Ja nepieciešams, pārskatiet sakņu un eksponentu darbības noteikumus (abi ir vienādi - saknes ir daļiņu pilnvaras), jo mums tie ir nepieciešami šajā procesā
Pārskatiet arī noteikumus polinomu un racionālu formu vienkāršošanai, jo mums tie būs jāvienkāršo.
1. metode no 6: perfekti kvadrāti
1. solis. Vienkāršojiet visas saknes, kurās ir perfekti kvadrāti
Perfekts kvadrāts ir skaitļa reizinājums, piemēram, 81, kas ir 9 x 9. Lai vienkāršotu perfektu kvadrātu, vienkārši noņemiet kvadrātsakni un pierakstiet skaitļa kvadrātsakni.
- Piemēram, 121 ir ideāls kvadrāts, jo 11 x 11 ir 121. Tātad, sakni (121) var vienkāršot līdz 11, noņemot saknes zīmi.
- Lai atvieglotu šo darbību, jums jāatceras pirmie divpadsmit perfekti kvadrāti: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
2. solis. Vienkāršojiet visas saknes, kurās ir perfekti kubi
Perfekts kubs ir reizinājums ar skaitli divreiz, piemēram, 27, kas ir 3 x 3 x 3. reizinājums. Lai vienkāršotu perfekta kuba saknes formu, vienkārši noņemiet kvadrātsakni un pierakstiet kvadrātsakni no numura.
Piemēram, 343 ir ideāls kubs, jo tas ir 7 x 7 x 7. reizinājums. Tātad 343 kuba sakne ir 7
2. metode no 6: Frakciju pārvēršana saknēs
Vai mainot otrādi (dažreiz tas palīdz), bet nejauciet tos vienā un tajā pašā paziņojumā kā sakne (5) + 5^(3/2). Pieņemsim, ka vēlaties izmantot saknes formu, un kvadrātsaknei izmantosim saknes (n), bet kuba saknei - sqrt^3 (n).
1. solis. Pārnesiet vienu uz frakcijas pakāpi un pārvērtiet to saknes formā, piemēram, x^(a/b) = root uz x^a jaudu b
Ja kvadrātsakne ir daļskaitlī, pārveidojiet to parastajā formā. Piemēram, kvadrātsakne (2/3) no 4 = sakne (4)^3 = 2^3 = 8
2. solis. Pārvērtiet negatīvos eksponentus par daļām, piemēram, x^-y = 1/x^y
Šī formula attiecas tikai uz pastāvīgiem un racionāliem eksponentiem. Ja jums ir tāda forma kā 2^x, nemainiet to, pat ja problēma norāda, ka x var būt daļiņa vai negatīvs skaitlis
3. solis. Apvienot vienu cilti un vienkāršot iegūto racionālo formu.
3. metode no 6: frakciju likvidēšana saknēs
Standarta formula pieprasa, lai sakne būtu vesels skaitlis.
1. solis. Apskatiet skaitli zem kvadrātsaknes, ja tas joprojām satur daļu
Ja tomēr,…
2. solis. Mainiet uz frakciju, kas sastāv no divām saknēm, izmantojot identitātes sakni (a/b) = sqrt (a)/sqrt (b)
Neizmantojiet šo identitāti, ja saucējs ir negatīvs vai ja tas ir mainīgs lielums, kas varētu būt negatīvs. Šajā gadījumā vispirms vienkāršojiet daļu
Solis 3. Vienkāršojiet katru perfekto kvadrātu no rezultāta
Tas ir, konvertējiet kvadrātmetrus (5/4) uz kv. (5)/kv. (4), pēc tam vienkāršojiet par kv. (5)/2.
4. darbība. Izmantojiet citas vienkāršošanas metodes, piemēram, sarežģītu frakciju vienkāršošanu, vienādu terminu apvienošanu utt
4. metode no 6: reizināšanas sakņu apvienošana
1. solis. Ja reizināt vienu saknes formu ar citu, apvienojiet abus vienā kvadrātsaknē, izmantojot formulu:
sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab). Piemēram, mainiet sakni (2)*sakni (6) uz sakni (12).
- Iepriekš norādītā identitāte sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab) ir derīga, ja skaitlis zem sqrt zīmes nav negatīvs. Nelietojiet šo formulu, ja a un b ir negatīvi, jo jūs pieļausit kļūdu, veicot sqrt (-1)*sqrt (-1) = sqrt (1). Apgalvojums kreisajā pusē ir vienāds ar -1 (vai nenoteikts, ja neizmantojat sarežģītus skaitļus), bet paziņojums labajā pusē ir +1. Ja a un/vai b ir negatīvs, vispirms "mainiet" zīmi, piemēram, sqrt (-5) = i*sqrt (5). Ja veidlapa zem saknes zīmes ir mainīgais, kura zīme nav zināma no konteksta vai var būt pozitīva vai negatīva, pagaidām atstājiet to tādu, kāda tā ir. Jūs varat izmantot vispārīgāku identitāti, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (sgn (a))*sqrt (sgn (b))*sqrt (| ab |), kas attiecas uz visiem reālajiem skaitļiem a un b, bet parasti šī formula neko daudz nepalīdz, jo papildina funkcijas sgn (signum) izmantošanu.
- Šī identitāte ir derīga tikai tad, ja sakņu formām ir vienāds eksponents. Jūs varat reizināt dažādas kvadrātsaknes, piemēram, sqrt (5)*sqrt^3 (7), pārvēršot tās par vienu kvadrātsakni. Lai to izdarītu, uz laiku pārveidojiet kvadrātsakni par daļu: sqrt (5) * sqrt^3 (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). Pēc tam izmantojiet reizināšanas noteikumu, lai reizinātu abus līdz kvadrātsaknei no 6125.
5. metode no 6: kvadrātveida faktora noņemšana no saknes
1. solis. Nepilnīgu sakņu faktoru sadalīšana galvenajos faktoros
Faktors ir skaitlis, kas, reizinot ar citu skaitli, veido skaitli - piemēram, 5 un 4 ir divi koeficienti no 20. Lai nojauktu nepilnīgās saknes, pierakstiet visus skaitļa faktorus (vai pēc iespējas vairāk, ja skaitlis ir pārāk liels), līdz esat atradis perfektu kvadrātu.
Piemēram, mēģiniet atrast visus faktorus 45: 1, 3, 5, 9, 15 un 45. 9 ir koeficients 45, un tas ir arī ideāls kvadrāts (9 = 3^2). 9 x 5 = 45
2. solis. Noņemiet visus reizinātājus, kas ir perfekti kvadrāti no kvadrātsaknes
9 ir ideāls kvadrāts, jo tas ir 3 x 3. reizinājums. Izņemiet 9 no kvadrātsaknes un nomainiet to ar 3 kvadrātsaknes priekšā, atstājot 5 kvadrātsaknes iekšpusē. Ja jūs "ievietojat" 3 atpakaļ kvadrātsaknē, reiziniet ar sevi, lai iegūtu 9, un, ja reizināt ar 5, tas atgriež 45. 3 saknes no 5 ir vienkāršs veids, kā izteikt sakni no 45.
Tas ir, kvadrātmetri (45) = sqrt (9*5) = kv. (9)*kv. (5) = 3*kv. (5)
Solis 3. Atrodiet mainīgajā perfektu kvadrātu
Kvadrāta kvadrātsakne ir | a |. Ja zināmais mainīgais ir pozitīvs, varat to vienkāršot līdz “a”. Kvadrātsakne no a līdz 3, ja to sadala līdz kvadrātsaknei kvadrāta reizē a - atcerieties, ka eksponenti sasummējas, kad mēs reizinām divus skaitļus ar a pakāpi, tātad kvadrāts reizinot ar a ir vienāds ar a trešā jauda.
Tāpēc perfekts kvadrāts kuba formā ir kvadrāts
4. solis. Noņemiet mainīgo, kas satur perfektu kvadrātu no kvadrātsaknes
Tagad paņemiet kvadrātu no kvadrātsaknes un mainiet to uz | a |. Vienkāršā saknes a forma līdz 3 pakāpei ir | a | sakne a.
Solis 5. Apvienojiet vienādus nosacījumus un vienkāršojiet visas aprēķinu rezultātu saknes
6. metode no 6: saucēja racionalizēšana
1. solis. Standarta formula prasa, lai saucējs būtu vesels skaitlis (vai polinoms, ja tas satur mainīgo), cik vien iespējams
-
Ja saucēju veido viens termins zem saknes zīmes, piemēram, […]/sakne (5), tad reiziniet gan skaitītāju, gan saucēju ar šo sakni, lai iegūtu […]*kv. (5)/kv. (5)*kv. (5) = […]*sakne (5)/5.
Kubu saknēm vai augstākām reiziniet ar atbilstošo sakni, lai saucējs būtu racionāls. Ja saucējs ir sakne^3 (5), reiziniet skaitītāju un saucēju ar sqrt^3 (5)^2
-
Ja saucējs sastāv no divu kvadrātsakņu, piemēram, sqrt (2) + sqrt (6), saskaitīšanas vai atņemšanas, reiziniet skaitli un saucēju ar to konjugātu, kas ir vienā formā, bet ar pretēju zīmi. Tad […]/(sakne (2) + sakne (6)) = […] (sakne (2) -akne (6))/(sakne (2) + sakne (6)) (sakne (2) -akne (6)). Pēc tam izmantojiet identitātes formulu divu kvadrātu starpībai [(a + b) (ab) = a^2-b^2], lai racionalizētu saucēju, vienkāršotu (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2)^2 -sqrt (6)^2 = 2-6 = -4.
- Tas attiecas arī uz saucējiem, piemēram, 5 + sqrt (3), jo visi veseli skaitļi ir citu veselu skaitļu saknes. [1/(5 + kv. (3)) = (5 kv. (3))/(5 + kv. 2 kvadrātmetri (3)^2) = (5 kvadrātmetri (3))/(25-3) = (5 kvadrātmetri (3))/22]
- Šī metode attiecas arī uz tādu sakņu pievienošanu kā sqrt (5) -sqrt (6)+sqrt (7). Ja jūs tos grupējat (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) un reizina ar (sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7), atbilde nav racionālā formā, bet vēl a+b*saknē (30), kur a un b jau ir racionāli skaitļi. Pēc tam atkārtojiet procesu ar konjugātiem a+b*sqrt (30) un (a+b*sqrt (30)) (a-b*sqrt (30)) būs racionāli. Būtībā, ja jūs varat izmantot šo triku, lai noņemtu vienu saknes zīmi saucējā, varat to atkārtot daudzas reizes, lai noņemtu visas saknes.
- Šo metodi var izmantot arī saucējiem, kuriem ir augstāka sakne, piemēram, ceturtā sakne no 3 vai septītā sakne no 9. Reiziniet skaitītāju un saucēju ar saucēja konjugātu. Diemžēl mēs nevaram tieši iegūt saucēja konjugātu, un to ir grūti izdarīt. Mēs varam atrast atbildi algebras grāmatā par skaitļu teoriju, bet es tajā neiedziļināšos.
2. solis. Tagad saucējs ir racionālā formā, bet skaitītājs izskatās nekārtīgs
Tagad atliek tikai to reizināt ar saucēja konjugātu. Iet uz priekšu un reiziniet, kā mēs reizinātu polinomus. Ja iespējams, pārbaudiet, vai kādus terminus nevar izlaist, vienkāršot vai apvienot.
3. solis. Ja saucējs ir negatīvs vesels skaitlis, reiziniet gan skaitītāju, gan saucēju ar -1, lai tas būtu pozitīvs
Padomi
- Internetā varat meklēt vietnes, kas var palīdzēt vienkāršot sakņu formas. Vienkārši ierakstiet vienādojumu ar saknes zīmi, un pēc Enter nospiešanas parādīsies atbilde.
- Vienkāršākiem jautājumiem, iespējams, neizmantojat visas šajā rakstā minētās darbības. Sarežģītākiem jautājumiem, iespējams, vajadzēs izmantot vairākas darbības vairāk nekā vienu reizi. Dažas reizes izmantojiet “vienkāršās” darbības un pārbaudiet, vai jūsu atbilde atbilst standarta formulēšanas kritērijiem, par kuriem mēs runājām iepriekš. Ja jūsu atbilde ir standarta formulā, esat pabeidzis; bet ja nē, varat pārbaudīt vienu no iepriekš minētajām darbībām, lai palīdzētu jums to paveikt.
- Lielākā daļa atsauču uz "ieteicamo standarta formulu" sakņu formai attiecas arī uz kompleksiem skaitļiem (i = sakne (-1)). Pat ja paziņojumā saknes vietā ir "i", pēc iespējas izvairieties no saucējiem, kuros joprojām ir i.
- Daži no šajā rakstā sniegtajiem norādījumiem pieņem, ka visas saknes ir kvadrāti. Tie paši vispārīgie principi attiecas uz augstāku spēku saknēm, lai gan ar dažām daļām (īpaši saucēja racionalizāciju) var būt diezgan grūti strādāt. Izlemiet pats, kādu formu vēlaties, piemēram, sqr^3 (4) vai sqr^3 (2)^2. (Neatceros, kāda forma parasti tiek ieteikta mācību grāmatās).
- Dažos šajā rakstā sniegtajos norādījumos tiek lietots vārds “standarta formula”, lai aprakstītu “parasto formu”. Atšķirība ir tāda, ka standarta formula pieņem tikai formu 1+sqrt (2) vai sqrt (2) +1 un pārējās formas uzskata par nestandarta; Vienkāršā formā tiek pieņemts, ka jūs, lasītājs, esat pietiekami gudrs, lai saskatītu šo divu skaitļu "līdzību", pat ja tie rakstiski nav identiski ('vienādi' nozīmē to aritmētiskais īpašums (komutatīvais papildinājums), nevis viņu algebriskā īpašība (sakne (2) ir saknes nenegatīvs x^2-2)). Mēs ceram, ka lasītāji sapratīs nelielo neuzmanību šīs terminoloģijas lietošanā.
- Ja kāda no norādēm šķiet neskaidra vai pretrunīga, veiciet visas nepārprotamās un konsekventās darbības un pēc tam izvēlieties vēlamo formu.
