3 veidi, kā vienkāršot algebriskās izteiksmes

2024 Autors: Jason Gerald | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-15 08:19

Mācīties vienkāršot algebriskās izteiksmes ir viena no pamata algebra apgūšanas atslēgām un visnoderīgākais instruments, kas nepieciešams jebkuram matemātiķim. Vienkāršošana ļauj matemātiķiem sarežģītas, garas un/vai nepāra izteiksmes pārvērst vienkāršākās vai vienkāršākās līdzvērtīgās izteiksmēs. Vienkāršošanas pamatprasmes ir ļoti viegli apgūt - pat tiem, kam riebjas matemātika. Veicot dažas vienkāršas darbības, ir iespējams vienkāršot daudzus visbiežāk izmantotos algebrisko izteiksmju veidus, neizmantojot īpašas zināšanas matemātikā. Lai sāktu, skatiet 1. darbību!

Solis

Svarīgu jēdzienu izpratne

Solis 1. Grupējiet līdzīgus terminus atbilstoši to mainīgajiem lielumiem un pilnvarām

Algebrā līdzīgiem terminiem ir vienāda mainīgā konfigurācija ar vienādu jaudu. Citiem vārdiem sakot, lai divi termini būtu vienādi, tiem jābūt ar vienādu mainīgo vai bez mainīgajiem, un katram mainīgajam ir vienāda jauda vai bez eksponenta. Mainīgo secība izteiksmē nav svarīga.

Piemēram, 3x² un 4x² ir līdzīgi termini, jo tiem abiem ir mainīgais x ar kvadrāta spēku. Tomēr x un x² nav līdzīgi termini, jo katram terminam ir mainīgais x ar atšķirīgu jaudu. Gandrīz vienādi, -3yx un 5xz nav līdzīgi termini, jo katram terminam ir atšķirīgs mainīgais.

Solis 2. Faktors, rakstot skaitli kā abu faktoru reizinājumu

Faktorings ir jēdziens pierakstīt noteiktu skaitli kā divu reizinātu faktoru reizinājumu. Skaitļiem var būt vairāk nekā viens faktoru kopums - piemēram, 12 var iegūt no 1 × 12, 2 × 6 un 3 × 4, tāpēc varam teikt, ka 1, 2, 3, 4, 6 un 12 ir faktori no 12 Vēl viens veids, kā to iedomāties, ir tāds, ka skaitļa faktori ir skaitļi, kas sadala veselu skaitli.

• Piemēram, ja mēs gribētu izmantot koeficientu 20, mēs varētu to uzrakstīt kā 4 × 5.
• Ņemiet vērā, ka var ņemt vērā arī mainīgos terminus. Piemēram, -20x var rakstīt kā 4 (5x).
• Primāros skaitļus nevar ņemt vērā, jo tos var dalīt tikai paši un 1.

3. darbība. Izmantojiet akronīmu KaPaK BoTaK, lai atcerētos darbību secību

Dažreiz izteiksmes vienkāršošana vienkārši atrisina vienādojuma darbību, līdz tā vairs nav funkcionāla. Šādos gadījumos ir ļoti svarīgi atcerēties darbību secību, lai nerastos aritmētiskas kļūdas. Akronīms KaPaK BoTaK palīdzēs atcerēties darbību secību - burti norāda veicamo darbību veidus šādā secībā:

• Kneizdoties
• Lpplifts
• Kali
• Bvēlreiz
• Tpievienot
• Kgarneles

1. metode no 3: apvienojiet līdzīgus noteikumus

1. solis. Pierakstiet savu vienādojumu

Vienkāršākos algebriskos vienādojumus, kas ietver tikai dažus mainīgus terminus ar veselu skaitļu koeficientiem un bez daļām, saknēm utt., Bieži vien var atrisināt tikai dažos soļos. Lielākajai daļai matemātikas uzdevumu pirmais solis vienādojuma vienkāršošanai ir to pierakstīt!

Kā piemēra problēmu turpmākajos soļos mēs izmantojam izteiksmi 1 + 2x - 3 + 4x.

2. solis. Identificējiet līdzīgas ciltis

Tālāk savā vienādojumā meklējiet līdzīgus terminus. Atcerieties, ka līdzīgiem terminiem ir vienāds mainīgais un eksponents.

Piemēram, identificēsim līdzīgus terminus mūsu vienādojumā 1 + 2x - 3 + 4x. 2x un 4x abiem ir vienāds mainīgais ar vienādu jaudu (šajā gadījumā x nav eksponenta). Arī 1 un -3 ir līdzīgi termini, jo tiem nav mainīgo. Tātad mūsu vienādojumā, 2x un 4x un 1 un -3 ir līdzīgas ciltis.

Solis 3. Apvienojiet līdzīgus terminus

Tagad, kad esat identificējis līdzīgus terminus, varat tos apvienot, lai vienkāršotu vienādojumu. Pievienojiet terminus (vai atņemiet, ja ir negatīvi termini), lai samazinātu vienādu mainīgo un eksponentu kopu līdz vienam vienādam terminam.

• Pievienosim līdzīgus terminus mūsu piemērā.

  • 2x + 4x = 6x
  • 1 + -3 = - 2

Solis 4. Izveidojiet vienkāršāku vienādojumu no vienkāršotajiem terminiem

Pēc līdzīgo terminu apvienošanas izveidojiet vienādojumu no jaunā, mazākā terminu kopuma. Jūs iegūsit vienkāršāku vienādojumu, kuram ir viens termins dažādām mainīgo un pilnvaru kopām sākotnējā vienādojumā. Šis jaunais vienādojums ir līdzvērtīgs sākotnējam vienādojumam.

Mūsu piemērā mūsu vienkāršotie termini ir 6x un -2, tāpēc mūsu jaunais vienādojums ir 6x - 2. Šis vienkāršais vienādojums ir līdzvērtīgs oriģinālam (1 + 2x - 3 + 4x), bet īsāks un vieglāk strādāt. Ir arī vieglāk ņemt vērā faktorus, kurus mēs aplūkosim tālāk, kas ir vēl viena svarīga vienkāršošanas prasme.

5. darbība. Apvienojot līdzīgus terminus, ievērojiet darbību secību

Ļoti vienkāršos vienādojumos, pie kuriem mēs strādājām iepriekšējā piemēra uzdevumā, ir viegli identificēt līdzīgus terminus. Tomēr sarežģītākos vienādojumos, piemēram, izteiksmēs, kas ietver iekavas, frakcijas un saknes, piemēram, terminus, kurus var apvienot, var nebūt skaidri redzami. Šādos gadījumos ievērojiet darbību secību, pēc vajadzības veicot darbības atbilstoši jūsu izteiksmes noteikumiem, līdz paliek saskaitīšanas un atņemšanas darbības.

• Piemēram, izmantosim vienādojumu 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x. Būtu nepareizi uzreiz uzskatīt 3x un 2x par līdzīgiem terminiem un tos apvienot, jo izteiksmē iekavas norāda, ka vispirms ir jāveic citas darbības. Pirmkārt, mēs veicam izteiksmes aritmētiskās darbības darbību secībā, lai iegūtu terminus, kurus varam izmantot. Skatiet sekojošo:

  • 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x² + 8 - 3 reizes. Tagad, tā kā vienīgās atlikušās darbības ir saskaitīšana un atņemšana, mēs varam apvienot līdzīgus terminus.
  • x² + (15x - 3x) + (8-5)
  • x² + 12x + 3

2. metode no 3: Faktorings

1. solis. Nosakiet lielāko kopējo izteiksmes faktoru

Faktorings ir veids, kā vienkāršot izteiksmi, noņemot izteiksmē visus vienādos faktorus. Lai sāktu, atrodiet vislielāko kopējo faktoru, kas piemīt visiem terminiem - citiem vārdiem sakot, lielāko skaitli, kas sadala visus izteiksmes veselos terminus.

• Izmantosim 9x vienādojumu² + 27x - 3. Ievērojiet, ka katrs šī vienādojuma termins dalās ar 3. Tā kā termini nav dalāmi ar lielāku skaitli, mēs varam teikt, ka

  3. solis. ir mūsu lielākais kopīgais faktors.

Solis 2. Sadaliet izteiksmes terminus ar lielāko kopējo faktoru

Pēc tam katru vienādojumu sadaliet ar lielāko kopējo faktoru, ko tikko atradāt. Sadalījuma nosacījumiem būs mazāks koeficients nekā sākotnējam vienādojumam.

• Faktorizēsim mūsu vienādojumu ar tā lielāko kopējo koeficientu 3. Lai to izdarītu, mēs katru terminu sadalīsim ar 3.

  • 9x²/3 = 3x²
  • 27x/3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • Tādējādi mūsu jaunā izpausme ir 3x² + 9x - 1.

3. solis. Uzrakstiet savu izteiksmi kā lielākā kopīgā faktora reizinājumu ar reizinātajiem atlikušajiem vārdiem

Jūsu jaunā izteiksme nav līdzvērtīga sākotnējai izteiksmei, tāpēc būtu nepareizi teikt, ka izteiksme ir vienkāršota. Lai mūsu jaunā izteiksme būtu līdzvērtīga oriģinālam, mums jāiekļauj fakts, ka mūsu izteiksme ir sadalīta ar lielāko kopējo faktoru. Iekļaujiet jauno izteiksmi iekavās un iekavās ierakstiet sākotnējā vienādojuma lielāko kopējo faktoru kā izteiksmes koeficientu.

Mūsu piemēra vienādojumam 3x² + 9x - 1, mēs varam iekļaut izteiksmi iekavās un reizināt to ar sākotnējā vienādojuma lielāko kopējo koeficientu, lai iegūtu 3 (3x² + 9x - 1). Šis vienādojums ir līdzvērtīgs sākotnējam vienādojumam 9x² +27x - 3.

Solis 4. Izmantojiet faktoringu, lai vienkāršotu frakcijas

Tagad jums var rasties jautājums, kāpēc tiek izmantots faktorings, ja pat pēc lielākā kopējā faktora noņemšanas jaunā izteiksme atkal jāreizina ar šo faktoru. Faktorings faktiski ļauj matemātiķiem veikt dažādus trikus, lai vienkāršotu izteiksmes. Viens no viņa vienkāršākajiem trikiem izmanto faktu, ka, reizinot skaitļa skaitītāju un saucēju ar vienu un to pašu skaitli, var iegūt līdzvērtīgas daļas. Skatiet sekojošo:

• Sakiet mūsu sākotnējo izteiksmes piemēru 9x² + 27x - 3, ir lielākās daļas kvantifikators ar skaitītāju 3. Daļa izskatīsies šādi: (9x² + 27x - 3)/3. Mēs varam izmantot faktoringu, lai vienkāršotu frakcijas.

  • Aizstāsim skaitītāja izteiksmi ar sākotnējās izteiksmes faktoringa formu: (3 (3x² + 9x - 1))/3
  • Ņemiet vērā, ka tagad gan skaitītājam, gan saucējam ir koeficients 3. Sadalot skaitītāju un saucēju ar 3, iegūstam: (3x² + 9x - 1)/1.
  • Tā kā jebkura daļa ar saucēju 1 ir līdzvērtīga skaitītāja nosacījumiem, mēs varam teikt, ka mūsu sākotnējo daļu var vienkāršot līdz 3x² + 9x - 1.

3. metode no 3: papildu vienkāršošanas prasmju pielietošana

1. solis. Vienkāršojiet frakcijas, dalot ar tiem pašiem faktoriem

Kā minēts iepriekš, ja vienādojuma skaitītājam un saucējam ir vienādi faktori, šos faktorus var pilnībā izlaist. Dažreiz tam būs jāņem vērā skaitītājs, saucējs vai abi (kā tas ir iepriekšējā uzdevuma piemērā), bet dažreiz tie paši faktori bieži ir acīmredzami. Ņemiet vērā, ka, lai iegūtu vienkāršu izteiksmi, ir iespējams arī skaitītāja nosacījumus sadalīt ar saucēja vienādojumu pa vienam.

• Strādāsim pie piemēra, kas neprasa faktoru. Frakcijām (5x² + 10x + 20)/10, lai vienkāršotu, katru skaitītāja skaitli varam dalīt ar 10, pat ja koeficients ir 5x5x² nav lielāks par 10 un tādējādi 10 nav faktors.

  Ja mēs to darīsim, mēs iegūsim ((5x²)/10) + x + 2. Ja mēs gribētu, mēs varētu pārrakstīt pirmo terminu kā (1/2) x² tātad iegūstam (1/2) x² +x+2.

2. solis. Izmantojiet kvadrātveida koeficientus, lai vienkāršotu saknes

Izteiksmi zem saknes zīmes sauc par saknes izteiksmi. Šo izteiksmi var vienkāršot, identificējot kvadrātveida faktorus (faktorus, kas ir veselu skaitļu kvadrāti) un veicot kvadrātsaknes darbību atsevišķi, lai tos noņemtu no kvadrātsaknes zīmes.

• Darīsim vienkāršu piemēru - (90). Ja domājam par 90 kā tā divu faktoru, 9 un 10, reizinājumu, mēs varam ņemt kvadrātsakni no 9, kas ir vesels skaitlis 3, un noņemt to no radikālās zīmes. Citiem vārdiem sakot:

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

Solis 3. Pievienojiet eksponentus, reizinot divus eksponentus; atņemot, dalot

Dažām algebriskām izteiksmēm ir nepieciešams reizināt vai dalīt jaudas nosacījumus. Tā vietā, lai aprēķinātu vai dalītu katru eksponentu manuāli, reizinot reiziniet eksponentus un atņemiet, dalot, lai ietaupītu laiku. Šo jēdzienu var izmantot arī, lai vienkāršotu mainīgās izteiksmes.

• Piemēram, izmantosim izteiksmi 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵). Jebkurā gadījumā, kad ir nepieciešama eksponentu reizināšana vai dalīšana, mēs attiecīgi atņemsim vai pievienosim eksponentus, lai ātri atrastu vienkāršo terminu. Skatiet sekojošo:

  • 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵)
  • (6 × 8) x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  • 48x⁷ +x²

• Lai uzzinātu, kā tas darbojas, skatiet tālāk:

  • Terminu reizināšana eksponentos patiesībā ir kā terminu reizināšana nevis garos eksponentos. Piemēram, tāpēc, ka x³ = x × x × x un x ⁵ = x × x × x × x × x, x³ × x⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) vai x⁸.
  • Gandrīz tas pats eksponentu dalīšana ir kā terminu dalīšana, nevis gari eksponenti. x⁵/x³ = (x x x x x x x x x)/(x x x x x x). Tā kā katru skaitītāja terminu var izsvītrot, saucējā atrodot vienu un to pašu terminu, skaitītājā ir palikuši tikai divi x un apakšā nekas nav palicis, sniedzot atbildi x².

Padomi

• Vienmēr atcerieties, ka jums ir jāiedomājas, ka šie skaitļi satur pozitīvas un negatīvas zīmes. Daudzi cilvēki apstājas, lai padomātu, kādu zīmi man šeit likt?
• Jautājiet palīdzību, ja jums tā nepieciešama!
• Algebrisko izteiksmju vienkāršošana nav vienkārša, bet, tiklīdz jūs to sapratīsit, jūs to izmantosit visu savu dzīvi.

Brīdinājums

• Vienmēr meklējiet līdzīgas ciltis un neļaujiet sevi apmānīt pēc ranga.
• Pārliecinieties, ka nepievienojat ciparus, pilnvaras vai darbības, kuras nevajadzētu izdarīt nejauši.