“Vienādojumu sistēmā” jums tiek lūgts vienlaicīgi atrisināt divus vai vairākus vienādojumus. Ja abiem vienādojumiem ir divi dažādi mainīgie, piemēram, x un y, risinājums sākumā var šķist grūts. Par laimi, tiklīdz jūs zināt, kas jums jādara, jūs varat vienkārši izmantot savas algebriskās prasmes (un zinātni par daļiņu aprēķināšanu), lai atrisinātu problēmu. Uzziniet arī, kā uzzīmēt šos divus vienādojumus, ja esat vizuāli apguvis vai skolotājs to pieprasa. Zīmējumi palīdzēs jums noteikt priekšmetu vai pārbaudīt darba rezultātus. Tomēr šī metode ir lēnāka nekā citas metodes, un to nevar izmantot visām vienādojumu sistēmām.
Solis
1. metode no 3: Aizvietošanas metodes izmantošana
1. solis. Pārvietojiet mainīgos uz vienādojuma pretējo pusi
Aizvietošanas metode sākas, “atrodot x vērtību” (vai jebkuru citu mainīgo) vienā no vienādojumiem. Piemēram, sakiet, ka problēmas vienādojums ir 4x + 2g = 8 un 5x + 3g = 9. Sāciet strādāt ar pirmo vienādojumu. Pārkārtojiet vienādojumu, atņemot 2y abās pusēs. Tādējādi jūs saņemat 4x = 8-2 gadi.
Šī metode bieži izmanto frakcijas beigās. Ja jums nepatīk skaitīt frakcijas, izmēģiniet tālāk norādīto eliminācijas metodi
Solis 2. Sadaliet abas vienādojuma puses, lai "atrastu x vērtību"
Kad termins x (vai jebkurš mainīgais, ko izmantojat) ir vienāds vienādojuma vienā pusē, sadaliet abas vienādojuma puses ar koeficientiem tā, lai paliek tikai mainīgais. Kā piemērs:
- 4x = 8-2 gadi
- (4x)/4 = (8/4) - (2g/4)
- x = 2 - y
Solis 3. Pievienojiet x vērtību no pirmā vienādojuma otrajam vienādojumam
Noteikti pievienojiet to otrajam vienādojumam, nevis tam, ar kuru tikko strādājāt. Aizstāt (aizstāt) mainīgo x otrajā vienādojumā. Tādējādi otrajam vienādojumam tagad ir tikai viens mainīgais. Kā piemērs:
- Ir zināms x = 2 - y.
- Jūsu otrais vienādojums ir 5x + 3g = 9.
- Pēc mainīgā x mainīšanas otrajā vienādojumā ar x vērtību no pirmā vienādojuma mēs iegūstam "2 - y": 5 (2 - y) + 3y = 9.
Solis 4. Atrisiniet atlikušos mainīgos
Tagad jūsu vienādojumam ir tikai viens mainīgais. Aprēķiniet vienādojumu ar parastajām algebriskajām operācijām, lai atrastu mainīgā vērtību. Ja abi mainīgie atceļ viens otru, pārejiet tieši uz pēdējo darbību. Pretējā gadījumā jūs iegūsit vērtību vienam no mainīgajiem:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Ja jūs nesaprotat šo darbību, uzziniet, kā pievienot frakcijas.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
5. solis. Izmantojiet iegūto atbildi, lai pirmajā vienādojumā atrastu patieso x vērtību
Nepārtrauciet tikai tāpēc, ka jūsu aprēķini vēl nav veikti. Iegūtā atbilde jāpievieno pirmajā vienādojumā, lai atrastu atlikušo mainīgo vērtību:
- Ir zināms y = -2
- Viens no vienādojumiem pirmajā vienādojumā ir 4x + 2g = 8. (Jūs varat izmantot abus.)
- Aizstājiet mainīgo y ar -2: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
6. solis. Ziniet, kā rīkoties, ja abi mainīgie atceļ viens otru
Kad ieejat x = 3g+2 vai līdzīga atbilde uz otro vienādojumu, kas nozīmē, ka jūs mēģināt iegūt vienādojumu, kuram ir tikai viens mainīgais. Dažreiz jūs vienkārši iegūstat vienādojumu bez mainīgais. Vēlreiz pārbaudiet savu darbu un pārliecinieties, ka esat ievietojis (pārkārtotu) pirmo vienādojumu otrajā vienādojumā, nevis atgriezies pie pirmā vienādojuma. Kad esat pārliecināts, ka neesat izdarījis neko nepareizu, uzrakstiet vienu no šiem rezultātiem:
- Ja vienādojumam nav mainīgo un tas nav patiess (piemēram, 3 = 5), šī problēma nav atbildes. (Kad tas ir attēlots, šie divi vienādojumi ir paralēli un nekad nesakrīt.)
- Ja vienādojumam nav mainīgo un Pareizi, (piemēram, 3 = 3), kas nozīmē, ka jautājumā ir neierobežotas atbildes. Pirmais vienādojums ir tieši tāds pats kā otrais vienādojums. (Grafiski šie divi vienādojumi ir viena līnija.)
2. metode no 3: Eliminācijas metodes izmantošana
1. solis. Atrodiet savstarpēji izslēdzošos mainīgos
Dažreiz problēmas vienādojums jau ir atcelt viens otru kad saskaita. Piemēram, ja veicat vienādojumu 3x + 2g = 11 un 5x - 2g = 13, termini "+2y" un "-2y" viens otru atcels un mainīgo "y" noņems no vienādojuma. Apskatiet uzdevuma vienādojumu un pārbaudiet, vai ir mainīgie, kas viens otru atceļ, kā piemērs. Ja nē, pārejiet pie nākamās darbības.
Solis 2. Reiziniet vienādojumu ar vienu, lai tiktu noņemts viens mainīgais
(Izlaidiet šo soli, ja mainīgie jau atceļ viens otru.) Ja vienādojumā nav mainīgo, kas atceļas atsevišķi, mainiet vienu no vienādojumiem, lai tie varētu atcelt viens otru. Apskatiet šādus piemērus, lai tos varētu viegli saprast:
- Problēmas vienādojumi ir 3x - y = 3 un - x + 2g = 4.
- Maināsim pirmo vienādojumu tā, lai mainīgais g atcelt viens otru. (Jūs varat izmantot mainīgo x. Galīgā atbilde būs tāda pati.)
- Mainīgs - g pirmajā vienādojumā ir jālikvidē ar + 2 g otrajā vienādojumā. Kā, pavairot - g ar 2.
- Reiziniet abas vienādojuma puses ar 2 šādi: 2 (3x - y) = 2 (3), tā 6x - 2g = 6. Tagad, cilts - 2 gadi atcels viens otru ar +2 g otrajā vienādojumā.
Solis 3. Apvienojiet abus vienādojumus
Triks ir pievienot pirmā vienādojuma labo pusi otrā vienādojuma labajai pusei un pirmā vienādojuma kreiso pusi pievienot otrā vienādojuma kreisajai pusei. Ja tas tiek izdarīts pareizi, viens no mainīgajiem atceļ viens otru. Mēģināsim turpināt aprēķinu no iepriekšējā piemēra:
- Jūsu divi vienādojumi ir 6x - 2g = 6 un - x + 2g = 4.
- Pievienojiet abu vienādojumu kreisās puses: 6x - 2g - x + 2y =?
- Pievienojiet abu vienādojumu labās puses: 6x - 2g - x + 2y = 6 + 4.
4. solis. Iegūstiet pēdējo mainīgā vērtību
Vienkāršojiet salikto vienādojumu un strādājiet ar standarta algebru, lai iegūtu pēdējā mainīgā vērtību. Ja pēc vienkāršošanas vienādojumam nav mainīgo, turpiniet līdz pēdējam šīs sadaļas solim.
Pretējā gadījumā jūs iegūsit vērtību vienam no mainīgajiem. Kā piemērs:
- Ir zināms 6x - 2g - x + 2y = 6 + 4.
- Grupējiet mainīgos x un g kopā: 6x - x - 2g + 2y = 6 + 4.
- Vienkāršojiet vienādojumu: 5x = 10
- Atrodiet x vērtību: (5x)/5 = 10/5, iegūt x = 2.
Solis 5. Atrodiet cita mainīgā vērtību
Jūs esat atradis viena mainīgā vērtību, bet kā ar otru? Pievienojiet savu atbildi vienam no vienādojumiem, lai atrastu atlikušā mainīgā vērtību. Kā piemērs:
- Ir zināms x = 2, un viens no problēmas vienādojumiem ir 3x - y = 3.
- Aizstājiet mainīgo x ar 2: 3 (2) - y = 3.
- Atrodiet y vērtību vienādojumā: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, tā 6 = 3 + y
- 3 = y
6. solis. Ziniet, kā rīkoties, ja abi mainīgie viens otru atceļ
Dažreiz divu vienādojumu apvienošana rada vienādojumu, kuram nav jēgas vai tas nepalīdz atrisināt problēmu. Pārskatiet savu darbu un, ja esat pārliecināts, ka neesat izdarījis neko nepareizu, uzrakstiet vienu no šīm divām atbildēm:
- Ja kombinētajam vienādojumam nav mainīgo un tā nav patiesa (piemēram, 2 = 7), šī problēma nav atbildes. Šī atbilde attiecas uz abiem vienādojumiem. (Kad tas ir attēlots, šie divi vienādojumi ir paralēli un nekad nesakrīt.)
- Ja kombinētajam vienādojumam nav mainīgo un Pareizi, (piemēram, 0 = 0), kas nozīmē, ka jautājumam ir neierobežotas atbildes. Šie divi vienādojumi ir identiski viens otram. (Grafiski šie divi vienādojumi ir viena līnija.)
3. metode no 3: uzzīmējiet vienādojumu grafiku
1. solis. Veiciet šo metodi tikai tad, kad tas ir norādīts
Ja neizmantojat datoru vai grafisko kalkulatoru, šī metode var sniegt tikai aptuvenas atbildes. Jūsu skolotājs vai mācību grāmata var ieteikt jums izmantot šo metodi, lai iemācītos zīmēt vienādojumus kā līnijas. Šo metodi var izmantot arī, lai pārbaudītu atbildi uz kādu no iepriekš minētajām metodēm.
Galvenā ideja ir tāda, ka jums ir jāapraksta abi vienādojumi un jāatrod to krustošanās punkts. X un y vērtība šajā krustošanās vietā ir atbilde uz problēmu
2. solis. Atrodiet abu vienādojumu y vērtības
Nekombinējiet abus vienādojumus un mainiet katru vienādojumu tā, lai formāts būtu "y = _x + _". Kā piemērs:
- Jūsu pirmais vienādojums ir 2x + y = 5. Mainīt uz y = -2x + 5.
- Jūsu pirmais vienādojums ir - 3x + 6y = 0. Mainīt uz 6g = 3x + 0un vienkāršot līdz y = x + 0.
- Ja jūsu divi vienādojumi ir pilnīgi vienādi, visa līnija ir abu vienādojumu "krustojums". Rakstīt neierobežotas atbildes kā atbildi.
Solis 3. Uzzīmējiet koordinātu asis
Uz grafiskā papīra uzzīmējiet vertikālu “y-ass” līniju un horizontālu “x-ass” līniju. Sākot no vietas, kur abas asis krustojas (0, 0), pierakstiet skaitļu etiķetes 1, 2, 3, 4 utt., Secīgi norādot uz y asi un pa labi uz x ass.. Pēc tam pierakstiet skaitļu etiķetes -1, -2 utt., Kas secīgi norāda uz y asi uz leju un pa kreisi uz x ass.
- Ja jums nav grafiskā papīra, izmantojiet lineālu, lai pārliecinātos, ka atstarpe starp katru skaitli ir vienāda.
- Ja izmantojat lielus ciparus vai decimāldaļas, iesakām palielināt diagrammas mērogu (piemēram, 10, 20, 30 vai 0, 1, 0, 2, 0, 3, nevis 1, 2, 3).
4. solis. Uzzīmējiet y-pārtveršanas punktu katram vienādojumam
Ja vienādojums ir formā y = _x + _, jūs varat sākt zīmēt grafiku, izveidojot punktu, kur vienādojuma līnija krustojas ar y asi. Y vērtība vienmēr ir tāda pati kā pēdējais vienādojuma skaitlis.
-
Turpinot iepriekšējo piemēru, pirmā rinda (y = -2x + 5) šķērso y asi pie
5. solis.. otrā rinda (y = x + 0) šķērso y asi pie 0. (Šie punkti grafikā ir uzrakstīti kā (0, 5) un (0, 0).)
- Ja iespējams, uzzīmējiet pirmo un otro līniju ar dažādu krāsu pildspalvām vai zīmuļiem.
Solis 5. Izmantojiet slīpumu, lai turpinātu līniju
Vienādojuma formātā y = _x + _, skaitlis x priekšā norāda līnijas “slīpuma līmeni”. Katru reizi, kad x tiek palielināts par vienu, y vērtība palielināsies par slīpuma līmeņu skaitu. Izmantojiet šo informāciju, lai atrastu punktus katrai grafika līnijai, kad x = 1. (Jūs varat arī ievadīt x = 1 katrā vienādojumā un atrast y vērtību.)
- Turpinot iepriekšējo piemēru, līnija y = -2x + 5 ir slīpums no - 2. Punktā x = 1 līnija pārvietojas uz leju par 2 no punkta x = 0. Uzzīmējiet līniju, kas savieno (0, 5) ar (1, 3).
- Līnija y = x + 0 ir slīpums no ½. Pie x = 1 līnija pārvietojas braukt no punkta x = 0. Uzzīmējiet līniju, kas savieno (0, 0) ar (1,).
- Ja divām līnijām ir vienāds slīpums, abi nekad nekrustojas. Tādējādi šai vienādojumu sistēmai nav atbildes. Rakstīt nav atbildes kā atbildi.
6. solis. Turpiniet savienot līnijas, līdz abas līnijas krustojas
Pārtrauciet darbu un apskatiet savu grafiku. ja abas līnijas ir šķērsojušas viena otru, pārejiet pie nākamās darbības. Ja nē, pieņemiet lēmumu, pamatojoties uz jūsu divu līniju stāvokli:
- Ja abas līnijas tuvojas viena otrai, turpiniet savienot svītru punktus.
- Ja abas līnijas attālinās viena no otras, atgriezieties un savienojiet punktus pretējos virzienos, sākot ar x = 1.
- Ja abas līnijas atrodas ļoti tālu viena no otras, mēģiniet pārlekt un savienot tālāk esošos punktus, piemēram, x = 10.
Solis 7. Atrodiet atbildi krustošanās vietā
Pēc abu līniju krustošanās x un y vērtība tajā brīdī ir atbilde uz jūsu problēmu. Ja jums veicas, atbilde būs vesels skaitlis. Piemēram, mūsu piemērā abas līnijas krustojas punktā (2, 1) tātad atbilde ir x = 2 un y = 1. Dažās vienādojumu sistēmās punkts, kurā līnija krustojas, atrodas starp diviem veseliem skaitļiem, un, ja diagramma nav ļoti precīza, ir grūti noteikt, kur krustošanās vietā atrodas x un y vērtības. Ja tas ir atļauts, kā atbildi varat ierakstīt “x ir no 1 līdz 2” vai izmantot aizstāšanas vai izslēgšanas metodi, lai atrastu atbildi.
Padomi
- Jūs varat pārbaudīt savu darbu, pievienojot atbildes sākotnējam vienādojumam. Ja vienādojums izrādās patiess (piemēram, 3 = 3), tas nozīmē, ka jūsu atbilde ir pareiza.
- Izmantojot eliminācijas metodi, reizēm vienādojums jāreizina ar negatīvu skaitli, lai mainīgie varētu viens otru atcelt.
