3 veidi, kā atrisināt kubikvienādojumus

2024 Autors: Jason Gerald | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-16 19:44

Kad pirmo reizi atrodat kubisko vienādojumu (kas ir formas cirvis ³ + bx ² + cx + d = 0), varbūt jūs domājat, ka problēmu būs grūti atrisināt. Bet ziniet, ka kubisko vienādojumu risināšana patiesībā ir bijusi gadsimtiem ilgi! Šis risinājums, ko 1500. gados atklāja itāļu matemātiķi Nikolo Tartaglija un Gerolamo Kardano, ir viena no pirmajām formulām, kas zināma Senajā Grieķijā un Romā. Kubisko vienādojumu atrisināšana var būt nedaudz sarežģīta, taču ar pareizo pieeju (un pietiekamām zināšanām) var atrisināt pat vissarežģītākos kubikvienādojumus.

Solis

1. metode no 3: Risināšana, izmantojot kvadrātvienādojumus

1. solis. Pārbaudiet, vai jūsu kubiskā vienādojumam ir konstante

Kā minēts iepriekš, kubiskā vienādojuma forma ir ax ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c, un d vērtība var būt 0, neietekmējot šī kubiskā vienādojuma formu; tas būtībā nozīmē, ka kubiskais vienādojums ne vienmēr ietver bx vērtību ², cx vai d ir kubiskais vienādojums. Lai sāktu izmantot šo diezgan vienkāršo kubikvienādojumu risināšanas veidu, pārbaudiet, vai jūsu kubiskā vienādojumam ir konstante (vai vērtība d). Ja jūsu vienādojumam nav konstanta vai d vērtības, varat izmantot kvadrātvienādojumu, lai pēc dažām darbībām atrastu atbildi uz kubisko vienādojumu.

No otras puses, ja jūsu vienādojumam ir nemainīga vērtība, jums būs nepieciešams cits risinājums. Citas pieejas skatiet tālāk norādītajās darbībās

Solis 2. Faktorizējiet x vērtību no kubiskā vienādojuma

Tā kā jūsu vienādojumam nav pastāvīgas vērtības, visiem tā komponentiem ir mainīgais x. Tas nozīmē, ka šo x vērtību var izņemt no vienādojuma, lai to vienkāršotu. Veiciet šo darbību un pārrakstiet kubisko vienādojumu formā x (ax ² + bx + c).

Piemēram, pieņemsim, ka sākotnējais kubiskais vienādojums šeit ir 3 x ³ + -2 x ² + 14 x = 0. Faktorizējot vienu mainīgo x no šī vienādojuma, iegūstam vienādojumu x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

Solis 3. Izmantojiet kvadrātvienādojumus, lai atrisinātu vienādojumus iekavās

Jūs varat pamanīt, ka daži no jūsu jaunajiem vienādojumiem, kas ir iekavās, ir kvadrātvienādojuma formā (ax ² + bx + c). Tas nozīmē, ka mēs varam atrast vajadzīgo vērtību, lai šo vienādojumu padarītu vienādu ar nulli, pievienojot a, b un c kvadrātvienādojuma formulai ({- b +/- √ (b ²- 4 ac)}/2 a). Veiciet šos aprēķinus, lai atrastu divas atbildes uz kubikvienādojumu.

• Mūsu piemērā pievienojiet a, b un c vērtības (attiecīgi 3, -2 un 14) kvadrātvienādojumā šādi:

  {- b +/- √ (b ²- 4 ac)}/2 a

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• Atbilde 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12,8 i}/6

• 2. atbilde:

  {2–12,8 i}/6

4. Izmantojiet nulles un savu kvadrātvienādojuma atbildi kā kubiskā vienādojuma atbildi

Kvadrātvienādojumiem būs divas atbildes, bet kubikvienādojumiem - trīs. Jūs jau zināt divas atbildes no trim; ko jūs iegūstat no vienādojuma "kvadrātā" daļas iekavās. Ja jūsu kubikvienādojumu var atrisināt ar šādu "faktorizāciju", jūsu trešā atbilde ir gandrīz vienmēr 0. Droši! Jūs tikko atrisinājāt kubisko vienādojumu.

Iemesls, kāpēc šī metode darbojas, ir pamatfakts, ka "jebkurš skaitlis, kas reizināts ar nulli, ir vienāds ar nulli". Ieviešot vienādojumu formā x (ax ² + bx + c) = 0, jūs būtībā vienkārši sadalāt to divās "daļās"; viena daļa ir x mainīgais kreisajā pusē, bet otra daļa ir kvadrātvienādojums iekavās. Ja viena no šīm divām daļām ir nulle, tad arī viss vienādojums būs nulle. Tādējādi divas atbildes uz kvadrātvienādojumu iekavās, kas to padarītu par nulli, ir atbildes uz kubisko vienādojumu, kā arī pati 0 - kas padarītu kreisās puses daļu arī nulli.

2. metode no 3: veselu skaitļu atbilžu atrašana, izmantojot faktoru sarakstu

1. solis. Pārliecinieties, vai kubiskā vienādojuma vērtība ir nemainīga

Lai gan iepriekš aprakstītās metodes ir diezgan viegli lietojamas, jo jums nav jāapgūst jauna aprēķinu tehnika, lai tās izmantotu, tās ne vienmēr palīdzēs atrisināt kubikvienādojumus. Ja jūsu kubiskais vienādojums ir formas cirvis ³ + bx ² + cx + d = 0, kur d vērtība nav vienāda ar nulli, iepriekš minētā "faktorizācijas" metode nedarbojas, tāpēc, lai to atrisinātu, jāizmanto viena no šajā sadaļā minētajām metodēm.

Piemēram, pieņemsim, ka mums ir vienādojums 2 x ³ + 9 x ² + 13 x = -6. Šajā gadījumā, lai vienādojuma labajā pusē iegūtu nulli, mums abām pusēm jāpievieno 6. Pēc tam mēs iegūsim jaunu vienādojumu 2 x ³ + 9 x ² + 13 x + 6 = 0, ar vērtību d = 6, tāpēc mēs nevaram izmantot "faktorizācijas" metodi kā iepriekšējā metodē.

2. solis. Atrodiet a un d faktorus

Lai atrisinātu kubikvienādojumu, vispirms atrodiet koeficientu a (koeficients x ³) un d (nemainīgā vērtība vienādojuma beigās). Atcerieties, ka faktori ir skaitļi, kurus var reizināt, lai iegūtu noteiktu skaitli. Piemēram, tā kā jūs varat iegūt 6, reizinot 6 × 1 un 2 × 3, 1, 2, 3 un 6 ir koeficienti 6.

• Mūsu izmantotajā uzdevuma paraugā a = 2 un d = 6. Faktors 2 ir 1 un 2. Kaut arī koeficients 6 ir 1, 2, 3 un 6.

  

  Solis 3. Sadaliet koeficientu a ar koeficientu d

  Tālāk uzskaitiet iegūtās vērtības, dalot katru a koeficientu ar katru koeficientu d. Šī aprēķina rezultātā parasti tiek iegūtas daudzas daļējas vērtības un vairāki veseli skaitļi. Vesels skaitlis, lai atrisinātu jūsu kubikvienādojumu, ir viens no skaitļiem iegūtajiem veseliem skaitļiem.

  Mūsu vienādojumā faktora vērtību a (1, 2) daliet ar koeficientu d (1, 2, 3, 6) un iegūstiet šādus rezultātus: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 un 2/3. Pēc tam pievienojiet sarakstam negatīvas vērtības, un mēs iegūstam: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 un -2/3. Atbilde uz kubisko vienādojumu - kas ir vesels skaitlis - ir sarakstā.

  

  4. solis. Izmantojiet sintētisko sadalījumu, lai manuāli pārbaudītu atbildes

  Kad esat izveidojis tādu vērtību sarakstu kā iepriekš, varat meklēt veselo skaitļu vērtības, kas ir atbildes uz jūsu kubikvienādojumu, manuāli ievadot katru veselu skaitli, un atrast, kura vērtība atgriež nulli. Tomēr, ja nevēlaties tērēt laiku šim nolūkam, ir veids, kā to izdarīt ātrāk, proti, izmantojot aprēķinu, ko sauc par sintētisko dalījumu. Būtībā veselu skaitļu vērtību jūs dalītu ar sākotnējiem koeficientiem a, b, c un d kubiskā vienādojumā. Ja atlikums ir nulle, šī vērtība ir viena no atbildēm uz jūsu kubiskā vienādojuma.

  • Sintētiskais sadalījums ir sarežģīta tēma - lai iegūtu vairāk informācijas, skatiet zemāk esošo saiti. Šeit ir piemērs, kā atrast vienu no atbildēm uz kubikvienādojumu ar sintētisku dalījumu:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    Tā kā gala rezultāts ir vienāds ar 0, mēs zinām, ka viena no mūsu kubiskā vienādojuma veselām skaitļu atbildēm ir - 1.

  3. metode no 3: diskriminējošās pieejas izmantošana

  

  1. solis. Pierakstiet vienādojumus a, b, c un d

  Lai šādā veidā atrastu atbildi uz kubisko vienādojumu, mēs veiksim daudz aprēķinu, izmantojot mūsu vienādojuma koeficientus. Šī iemesla dēļ ir ieteicams pierakstīt a, b, c un d vērtības, pirms aizmirstat kādu no vērtībām.

  Piemēram, vienādojumam x ³ - 3 reizes ² + 3 x -1, pierakstiet to kā a = 1, b = -3, c = 3 un d = -1. Neaizmirstiet, ka tad, ja mainīgajam x nav koeficienta, tā vērtība ir 1.

  

  2. solis. Aprēķiniet 0 = b ² - 3 gaisa kondicionieri.

  Diskriminējošā pieeja, lai atrastu atbildes uz kubveida vienādojumiem, prasa sarežģītus aprēķinus, taču, ja rūpīgi sekojat soļiem, tā var būt ļoti noderīga, lai atrisinātu kubveida vienādojumus, kurus ir grūti atrisināt citos veidos. Vispirms atrodiet vērtību 0, kas ir pirmā nozīmīgā vērtība no vairākiem mums nepieciešamajiem, pievienojot atbilstošo vērtību formulai b ² - 3 gaisa kondicionieri.

  • Mūsu piemērā mēs to atrisināsim šādi:

    b ² - 3 ac

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  Solis 3. Aprēķiniet 1 = 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d.

  Nākamajai nozīmīgajai vērtībai, kas mums nepieciešama, 1, nepieciešams ilgāks aprēķins, taču to var atrast tāpat kā 0. Pievienojiet atbilstošo vērtību formulai 2b ³ - 9 abc + 27 a ² d, lai iegūtu vērtību 1.

  • Šajā piemērā mēs to atrisinām šādi:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  4. solis. Aprēķiniet = 1² - 4Δ0³) -27 a ².

  Tālāk mēs aprēķinām 0 un 1 vērtību "diskriminējošo" vērtību. Diskriminants ir skaitlis, kas sniedz informāciju par polinoma sakni (iespējams, esat neapzināti iegaumējis kvadrātiskās diskriminatora formulu: b ² - 4 gaisa kondicionieri). Kubiskā vienādojuma gadījumā, ja diskriminatora vērtība ir pozitīva, tad vienādojumam ir trīs reālo skaitļu atbildes. Ja diskriminējošā vērtība ir vienāda ar nulli, tad vienādojumam ir viena vai divas reālo skaitļu atbildes, un dažām atbildēm ir vienāda vērtība. Ja vērtība ir negatīva, tad vienādojumam ir tikai viena reālā skaitļa atbilde, jo vienādojuma grafiks vienmēr vismaz vienu reizi krustos x asi.)

  • Šajā piemērā, tā kā gan 0, gan 1 = 0, vērtības atrašana ir ļoti vienkārša. Mums vienkārši jāaprēķina šādā veidā:

    1² - 4Δ0³) -27 a ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, tāpēc mūsu vienādojumam ir 1 vai 2 atbildes.

  

  Solis 5. Aprēķiniet C = ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2).

  Pēdējā vērtība, ko mums ir svarīgi iegūt, ir C vērtība. Šī vērtība ļauj mums iegūt visas trīs mūsu kubiskā vienādojuma saknes. Atrisiniet kā parasti, pievienojot formulai 1 un 0 vērtības.

  • Šajā piemērā C vērtību iegūsim šādi:

    ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = C

  

  6. solis. Ar mainīgo aprēķiniet vienādojuma trīs saknes

  Jūsu kubiskā vienādojuma sakni (atbildi) nosaka pēc formulas (b + u C + (Δ0/u C)) / 3 a, kur u = (-1 + (-3))/2 un n ir vienāds ar 1, 2 vai 3. Pievienojiet savas vērtības formulai, lai tās atrisinātu-var būt jāveic diezgan daudz aprēķinu, bet jums vajadzētu saņemt visas trīs kubiskā vienādojuma atbildes!

  • Šajā piemērā mēs to varam atrisināt, pārbaudot atbildes, kad n ir 1, 2 un 3. Atbilde, ko iegūstam no šī aprēķina, ir iespējamā atbilde uz mūsu kubikvienādojumu - jebkura vērtība, ko pievienojam kubiskā vienādojumam, un tā dod ar 0, ir pareizā atbilde. Piemēram, ja kādā no mūsu aprēķinu eksperimentiem mēs saņemam atbildi, kas vienāda ar 1, pievienojot vērtību 1 vienādojumam x ³ - 3 reizes ² + 3 x - 1 dod gala rezultātu, kas vienāds ar 0. Tādējādi

    1. darbība. ir viena no atbildēm uz mūsu kubiskā vienādojuma.