Pitagora teorēma eleganti un praktiski apraksta taisnstūra trīsstūra malu garumus, tāpēc šī teorēma tiek plaši izmantota arī mūsdienās. Šī teorēma nosaka, ka jebkuram taisnleņķa trīsstūrim leņķisko malu kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu. Citiem vārdiem sakot, taisnstūra trīsstūrim ar perpendikulārām malām a un b un hipotenūzi c, a2 + b2 = c2.
Pitagora teorēma ir viens no elementārās ģeometrijas pamatpīlāriem. Šo teorēmu izmanto, piemēram, neskaitāmas lietojumprogrammas, lai būtu vieglāk atrast attālumu starp diviem punktiem koordinātu plaknē.
Solis
1. metode no 2: Taisnstūra trīsstūra malu atrašana
1. solis. Pārliecinieties, vai jūsu trīsstūris ir taisnstūris
Pitagora teorēma attiecas tikai uz taisnleņķa trijstūriem, tāpēc, pirms turpināt, ir ļoti svarīgi pārliecināties, ka jūsu trijstūri atbilst taisnstūra trīsstūra īpašībām. Par laimi, ir viens faktors, kas var norādīt, ka jūsu trīsstūris ir taisnstūris. Jūsu trīsstūrim jābūt vienam 90 grādu leņķim.
Kā zīme taisnstūra trīsstūri bieži tiek apzīmēti ar maziem kvadrātiem, lai atzīmētu 90 grādu leņķus, neizmantojot izliektas "līknes". Meklējiet šo konkrēto atzīmi trīsstūra stūrī
2. Sniedziet mainīgos a, b un c trijstūra malām
Pitagora teorēmā mainīgie a un b apzīmē malas, kas satiekas taisnajā trīsstūrī, bet mainīgais c attēlo hipotenūzu - garo pusi, kas atrodas pretī taisnajam leņķim. Tātad, lai sāktu, atzīmējiet trijstūra īsās malas ar mainīgajiem a un b (nav nozīmes to maiņai) un atzīmējiet hipotenūzi ar mainīgo c.
Solis 3. Izlemiet, kuru trijstūra malu vēlaties atrisināt
Pitagora teorēma ļauj matemātiķiem atrast jebkura taisnstūra trīsstūra malas garumu, ja vien viņi zina pārējo divu malu garumus. Nosakiet, kura puse nav zināma - a, b un/vai c. Ja vienas puses garums nav zināms, jūs esat gatavs doties tālāk.
- Piemēram, mēs zinām, ka trīsstūra hipotenūzas garums ir 5 un vienas otras malas garums ir 3, bet mēs neesam pārliecināti par trešās malas garumu. Šajā gadījumā mēs zinām, ka mēs meklējam trešās puses garumu, un, tā kā mēs zinām pārējo divu garumu, mēs to varam atrisināt! Mēs strādāsim pie šīs problēmas, veicot šādas darbības.
- Ja jūs nezināt divu malu garumus, jums jāzina viena no malām, lai varētu izmantot Pitagora teorēmu. Pamata trigonometriskās funkcijas var jums palīdzēt, ja zināt vienu trijstūra malu, kas nav slīpa.
Solis 4. Pievienojiet vienādojumā jau zināmās divpusējās vērtības
Pievienojiet trīsstūra malu garumus vienādojumam a2 + b2 = c2. Atcerieties, ka a un b ir sānu malas bez slīpuma, bet c ir hipotenūza.
Mūsu piemērā mēs zinām vienas malas garumu un hipotenūzi (3 un 5), tāpēc vienādojums kļūst 3² + b² = 5²
Solis 5. Kvadrāts
Lai atrisinātu vienādojumu, sāciet ar zināmo malu kvadrātu. Alternatīvi, ja jums tas ir vieglāk, varat atstāt sānu garumus kvadrātā un kvadrēt vēlāk.
-
Mūsu piemērā mēs kvadrātu 3 un 5, lai mēs iegūtu
9. solis. da
25. solis.. Mēs varam uzrakstīt vienādojumu kā 9 + b² = 25.
6. solis. Pārvietojiet nezināmo mainīgo uz vienādojuma otru pusi
Ja nepieciešams, izmantojiet pamata algebriskās operācijas, lai nezināmais mainīgais pārvietotos uz vienādojuma otru pusi, bet pārējo divu mainīgo kvadrāts - uz otru pusi. Ja vēlaties atrast hipotenūzas garumu, c jau atrodas vienādojuma otrā pusē, tāpēc jums nekas nav jādara, lai to pārvietotu.
Mūsu piemērā pašreizējais vienādojums ir 9 + b² = 25. Lai pārvietotu b², atņemiet vienādojuma abas malas ar 9, tāpēc rezultāts ir b² = 16
7. solis. Vienādojuma abu pušu kvadrātsakne
Tagad vienā pusē ir tikai viens mainīgais kvadrātā, bet otrā - skaitlis. Abu laukumu kvadrātsakne, lai atrastu nezināmās malas garumu.
-
Mūsu piemērā b² = 16, ņemot abu malu kvadrātsakni, iegūst b = 4. Tādējādi mēs varam teikt, ka trijstūra nezināmās malas garums ir
4. solis..
8. solis. Izmantojiet Pitagora teorēmu, lai atrastu taisnleņķa trīsstūra malas
Iemesls, kāpēc Pitagora teorēma mūsdienās tiek plaši izmantota, ir tas, ka to var piemērot neskaitāmām praktiskām situācijām. Uzziniet, kā reālajā dzīvē zināt taisnstūrus - jebkurā situācijā, kad divi objekti vai taisnas līnijas saskaras ar taisnu leņķi un trešais objekts vai līnija savieno abus objektus vai līnijas pa diagonāli, tad varat izmantot Pitagora teorēmu, lai atrastu malas garumu. otru, ja ir zināmi abu pārējo malu garumi.
-
Izmēģināsim reālu piemēru, kas ir nedaudz grūtāks. Kāpnes atspiežas pret ēku. Attālums no kāpņu apakšas līdz sienai ir 5 metri. Kāpņu augstums sasniedz 20 metrus. Cik garas ir kāpnes?
-
5 metrus no sienas un 20 metrus augsts norāda trijstūra malu garumu. Tā kā siena un zeme (pieņemts) veido taisnu leņķi un kāpnes tiek atbalstītas pa diagonāli pret sienu, šo izvietojumu var uzskatīt par taisnu trijstūri ar sānu garumu a = 5 un b = 20. Kāpņu garums ir hipotenūza, tāpēc c vērtība nav zināma. Izmantosim Pitagora teorēmu:
- a² + b² = c²
- (5) ² + (20) ² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- sakne (425) = c
- c = 20,6. Kāpņu aptuvenais garums ir 20,6 metri.
-
2. metode no 2: attāluma aprēķināšana starp diviem punktiem X-Y plaknē
Solis 1. Atrodiet divus punktus X-Y plaknē
Pitagora teorēmu var viegli izmantot, lai aprēķinātu taisnās līnijas attālumu starp diviem punktiem X-Y plaknē. Viss, kas jums jāzina, ir abu punktu x un y koordinātas. Parasti šīs koordinātas tiek rakstītas kopā (x, y).
Lai atrastu attālumu starp šiem diviem punktiem, mēs uzskatīsim katru punktu par vienu no taisnleņķa trīsstūra leņķiem, kas nav taisni. To darot, būs viegli atrast malu a un b garumu un pēc tam aprēķināt hipotenūzu c, kas ir attālums starp diviem punktiem
2. solis. Zīmējiet divus attēla punktus
Parastā X-Y plaknē katrs punkts (x, y), x apzīmē horizontālu koordinātu un y-vertikālu koordinātu. Jūs varat atrast attālumu starp abiem punktiem, to neuzzīmējot, taču, to darot, jūs iegūsit vizuālu attēlu, kuru varēsit izmantot, lai redzētu, vai jūsu atbilde ir pareiza.
Solis 3. Atrodiet trijstūra bez slīpās malas garumu
Izmantojot abus punktus kā trijstūra leņķus, kas atrodas blakus hipotenūzai, atrodiet trijstūra malu a un b garumu. To var izdarīt, izmantojot attēlu vai izmantojot formulu | x1 - x2| horizontālajai pusei un | y1 - g2| vertikālajai pusei ar (x1, y1) kā pirmo punktu un (x2, y2) kā otro punktu.
-
Mūsu divi punkti ir (6, 1) un (3, 5). Mūsu trijstūra horizontālās malas garums ir:
- | x1 - x2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
3. solis.
-
Vertikālās malas garums ir:
- | g1 - g2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
4. solis.
- Tātad, mūsu taisnajā trīsstūrī mala a = 3 un mala b = 4.
4. solis. Izmantojiet Pitagora teorēmu, lai atrastu hipotenūzas garumu
Attālums starp diviem punktiem ir trīsstūra hipotenūzas garums, kura divas puses jūs tikko atradāt. Izmantojiet Pitagora teorēmu, lai atrastu hipotenūzu, kur a ir pirmās malas garums un b ir otrās malas garums.
-
Mūsu piemērā mēs izmantojam punktus (3, 5) un (6, 1), kuru sānu garumi ir 3 un 4, tāpēc hipotenūzi varam atrast šādi:
-
- (3) ²+(4) ² = c²
- c = sakne (9+16)
- c = sakne (25)
-
c = 5. Attālums starp (3, 5) un (6, 1) ir
5. solis..
-
Padomi
-
Hipotenūza vienmēr ir šāda:
- pretī taisnajam leņķim (nepieskaroties taisnajam leņķim)
- garākā mala taisnā trīsstūrī
- Pitagora teorēmā sauc par c
- sakne (x) nozīmē x kvadrātsakni.
- Atcerieties vienmēr pārbaudīt savas atbildes. Ja jūsu atbilde šķiet nepareiza, mēģiniet vēlreiz un mēģiniet vēlreiz.
- Ja trīsstūris nav taisnstūris, jums ir nepieciešama papildu informācija, nevis tikai pārējo divu malu garumi.
- Vēl viens pārbaudes veids - garākā puse atrodas pretī lielākajam leņķim, bet īsākā - pret mazāko leņķi.
- Skaitļi ir atslēga, lai pierakstītu pareizās a, b un c vērtības. Ja strādājat ar stāsta problēmu, vispirms pierakstiet problēmu attēla formā.
- Ja jūs zināt tikai vienas malas garumu, Pitagora teorēma nedarbojas. Mēģiniet izmantot trigonometriju (sin, cos, tan) vai 30-60-90 / 45-45-90 attiecības.
