Matricu noteicējs bieži tiek izmantots aprēķinos, lineārajā algebrā un ģeometrijā augstākā līmenī. Ārpus akadēmiskās vides datorgrafikas inženieri un programmētāji visu laiku izmanto matricas un to noteicošos faktorus. Ja jūs jau zināt, kā noteikt 2x2 lieluma matricas noteicēju, jums vienkārši jāiemācās izmantot saskaitīšanu, atņemšanu un laiku, lai noteiktu 3x3 kārtas matricas noteicēju.
Solis
1. daļa no 2: Noteicošo faktoru noteikšana
Uzrakstiet savu 3 x 3 pasūtījuma matricu. Sāksim ar 3x3 kārtas matricu A un mēģināsim atrast noteicēju | A |. Zemāk ir vispārējā matricas apzīmējuma forma, kuru mēs izmantosim, un mūsu matricas piemērs:
| a11 | a12 | a13 | 1 | 5 | 3 | |||
| M | = | a21 | a22 | a23 | = | 2 | 4 | 7 |
| a31 | a32 | a33 | 4 | 6 | 2 |
1. solis. Atlasiet rindu vai kolonnu
Izvēlieties atsauces rindu vai kolonnu. Neatkarīgi no tā, kuru izvēlaties, jūs joprojām saņemsit to pašu atbildi. Uz laiku atlasiet pirmo rindu. Nākamajā sadaļā mēs sniegsim dažus ieteikumus, kā izvēlēties visvieglāk aprēķināmo opciju.
Atlasiet parauga matricas A pirmo rindu. Apvelciet skaitli 1 5 3. Parastā apzīmējumā apvelciet a11 a12 a13.
2. Izsvītrojiet pirmā elementa rindu un kolonnu
Apskatiet rindu vai kolonnu, kuru apvilkāt, un atlasiet pirmo elementu. Izsvītrojiet rindas un kolonnas. Paliks neskarti tikai 4 cipari. Padariet šos 4 skaitļus par 2 x 2 kārtas matricu.
- Mūsu piemērā mūsu atsauces rinda ir 1 5 3. Pirmais elements atrodas 1. rindā un 1. slejā. Svītro visu 1. rindu un 1. kolonnu. Atlikušos elementus ierakstiet 2 x 2 matricā:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
3. solis. Nosakiet 2 x 2 kārtas matricas noteicēju
Atcerieties, nosakiet matricas noteicēju [ac bd] līdz reklāma - bc. Jūs, iespējams, esat iemācījušies noteikt matricas noteicēju, uzzīmējot X starp 2 x 2 matricu. Reiziniet divus skaitļus, kas savienoti ar X līniju \. Pēc tam atņemiet, cik reižu divi skaitļi ir savienoti ar līniju / ir. Izmantojiet šo formulu, lai aprēķinātu 2 x 2 matricas noteicēju.
- Piemērā matricas noteicējs [46 72] = 4*2 - 7*6 = - 34.
- Šo noteicēju sauc nepilngadīgais no elementiem, kurus atlasījāt sākotnējā matricā. Šajā gadījumā mēs tikko esam atraduši nepilngadīgo a11.
Solis 4. Reiziniet iegūto skaitli ar izvēlēto elementu
Atcerieties, ka esat izvēlējies elementus no atsauces rindas (vai kolonnas), kad izlēmāt, kuras rindas un kolonnas svītrot. Reiziniet šo elementu ar atrastās 2 x 2 matricas noteicēju.
Piemērā mēs izvēlamies a11 kas ir 1. Reiziniet šo skaitli ar -34 (2 x 2 matricas noteicējs), lai iegūtu 1*-34 = - 34.
5. solis. Nosakiet savas atbildes simbolu
Nākamais solis ir tas, ka, lai iegūtu atbildi, jums tas jāreizina ar 1 vai -1 kofaktors no jūsu izvēlētā elementa. Jūsu izmantotais simbols ir atkarīgs no elementu atrašanās vietas 3 x 3 matricā. Atcerieties, ka šī simbolu tabula tiek izmantota, lai noteiktu jūsu elementa reizinātāju:
- + - +
- - + -
- + - +
- Tā kā mēs izvēlamies a11 kas ir atzīmēta ar +, mēs reizināsim skaitli ar +1 (vai, citiem vārdiem sakot, nemainiet to). Parādītā atbilde būs tāda pati, proti - 34.
- Vēl viens veids, kā definēt simbolu, ir izmantot formulu (-1) i+j kur i un j ir rindu un kolonnu elementi.
6. darbība. Atkārtojiet šo procesu atsauces rindas vai kolonnas otrajam elementam
Atgriezieties pie sākotnējās 3 x 3 matricas, kurā rindu vai kolonnu aplīmējāt iepriekš. Atkārtojiet to pašu procesu ar elementu:
-
Izsvītrojiet elementa rindu un kolonnu.
Šajā gadījumā izvēlieties elementu a12 (kas ir 5 vērts). Izsvītrojiet 1. rindu (1 5 3) un otro kolonnu (5 4 6).
-
Pārvērtiet atlikušos elementus 2x2 matricā.
Mūsu piemērā 2x2 kārtas matrica otrajam elementam ir [24 72].
-
Nosakiet šīs 2x2 matricas noteicēju.
Izmantojiet ad -bc formulu. (2*2 - 7*4 = -24)
-
Reiziniet ar izvēlētās 3x3 matricas elementiem.
-24 * 5 = -120
-
Izlemiet, vai reizināt iepriekš minēto rezultātu ar -1 vai nē.
Izmantojiet simbolu vai formulu tabulu (-1)ij. Izvēlieties elementu a12 simbolizēts - simbolu tabulā. Aizstājiet mūsu atbildes simbolu ar: (-1)*(-120) = 120.
7. solis. Atkārtojiet to pašu procesu trešajam elementam
Lai noteiktu noteicēju, jums ir vēl viens kofaktors. Skaitiet i atsauces rindas vai kolonnas trešo elementu. Šeit ir ātrs veids, kā aprēķināt kofaktoru a13 mūsu piemērā:
- Izsvītrojiet 1. rindu un 3. kolonnu, lai iegūtu [24 46].
- Determinants ir 2*6 - 4*4 = -4.
- Reiziniet ar elementu a13: -4 * 3 = -12.
- Elements a13 simbols + simbolu tabulā, tāpēc atbilde ir - 12.
8. solis. Saskaitiet trīs skaitīšanas rezultātus
Šis ir pēdējais solis. Jūs esat aprēķinājis trīs kofaktorus, vienu katram rindas vai kolonnas elementam. Saskaitot šos rezultātus, jūs atradīsit 3 x 3 matricas noteicēju.
Piemērā matricas noteicējs ir - 34 + 120 + - 12 = 74.
2. daļa no 2: Vieglāka problēmu risināšana
1. solis. Atlasiet atsauču rindu vai kolonnu, kurā ir visvairāk 0
Atcerieties, ka varat atlasīt jebkuru vajadzīgo rindu vai kolonnu. Neatkarīgi no tā, kuru izvēlaties, atbilde būs vienāda. Ja izvēlaties rindu vai kolonnu ar skaitli 0, jums jāaprēķina tikai kofaktors ar elementiem, kas nav 0, jo:
- Piemēram, atlasiet otro rindu, kurā ir elements a21, a22, fonds23. Lai atrisinātu šo problēmu, mēs izmantosim 3 dažādas 2 x 2 matricas, pieņemsim A21, A22, Tu23.
- 3x3 matricas noteicējs ir a21| A.21| - a22| A.22| + a23| A.23|.
- Ja22 fonds23 vērtība 0, esošā formula būs a21| A.21| - 0*| A.22| + 0*| A23| = a21| A.21| - 0 + 0 = a21| A.21|. Tāpēc mēs aprēķināsim tikai viena elementa kofaktoru.
2. solis. Izmantojiet papildu rindas, lai atvieglotu matricas problēmas
Ja ņemat vērtības no vienas rindas un pievienojat tās citai rindai, matricas noteicējs nemainās. Tas pats attiecas uz kolonnām. Varat to darīt atkārtoti vai reizināt ar konstanti pirms tās pievienošanas, lai matricā iegūtu pēc iespējas vairāk 0. Tas var ietaupīt daudz laika.
- Piemēram, jums ir matrica ar 3 rindām: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
- Lai izslēgtu skaitli 9, kas atrodas pozīcijā a11, jūs varat reizināt 2. rindas vērtību ar -3 un pievienot rezultātu pirmajai rindai. Tagad jaunā pirmā rinda ir [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- Jaunajā matricā ir rindas [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Izmantojiet to pašu triku kolonnās, lai izveidotu a12 būt skaitlis 0.
Solis 3. Trīsstūrveida matricām izmantojiet ātro metodi
Šajā īpašajā gadījumā noteicošais ir galveno diagonāles elementu reizinājums11 augšējā kreisajā stūrī uz a33 matricas apakšējā labajā stūrī. Šī matrica joprojām ir 3x3 matrica, bet "trīsstūra" matricai ir īpašs skaitļu modelis, kas nav 0:
- Augšējā trīsstūra matrica: visi elementi, kas nav 0, atrodas uz galvenās diagonāles vai virs tās. Visi skaitļi zem galvenās diagonāles ir 0.
- Apakšējā trīsstūrveida matrica: visi elementi, kas nav 0, atrodas uz galvenās diagonāles vai zem tās.
- Diagonālā matrica: visi elementi, kas nav 0, atrodas uz galvenās diagonāles (iepriekš minēto matricu veidu apakškopa).
Padomi
- Ja visi rindas vai kolonnas elementi ir 0, matricas determinants ir 0.
- Šo metodi var izmantot visu kvadrātisko matricu izmēriem. Piemēram, ja izmantojat šo metodi 4x4 kārtas matricai, jūsu "streiks" atstās 3x3 kārtas matricu, kuras determinantu var noteikt, veicot iepriekš norādītās darbības. Atcerieties, ka to darīt var būt garlaicīgi!
