Kā manuāli aprēķināt kvadrātveida saknes (ar attēliem)

2024 Autors: Jason Gerald | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-15 08:19

Dienās pirms kalkulatoru izgudrošanas studentiem un profesoriem vajadzēja manuāli aprēķināt kvadrātsaknes. Lai pārvarētu šo sarežģīto procesu, ir izstrādāti vairāki dažādi veidi. Daži veidi sniedz aptuvenu novērtējumu, bet citi - precīzu vērtību. Lai uzzinātu, kā atrast skaitļa kvadrātsakni, izmantojot vienkāršas darbības, skatiet 1. darbību, lai sāktu darbu.

Solis

1. metode no 2: Prime Factorization izmantošana

Solis 1. Sadaliet savu skaitli perfektos kvadrātfaktoros

Šī metode izmanto skaitļa koeficientus, lai atrastu skaitļa kvadrātsakni (atkarībā no skaitļa atbilde var būt precīzs skaitlis vai tuvs tuvinājums). Skaitļa faktori ir citu skaitļu kopums, kas, reizinot, rada šo skaitli. Piemēram, jūs varētu teikt, ka koeficienti 8 ir 2 un 4, jo 2 × 4 = 8. Tikmēr perfekti kvadrāti ir veseli skaitļi, kas ir citu veselu skaitļu reizinājums. Piemēram, 25, 36 un 49 ir ideāli kvadrāti, jo tie ir attiecīgi 5², 6²un 7². Kā jau varējāt uzminēt, perfekti kvadrātveida faktori ir faktori, kas ir arī perfekti kvadrāti. Lai sāktu atrast kvadrātsakni, izmantojot primāro faktorizāciju, vispirms mēģiniet vienkāršot savu skaitli līdz tā perfektajiem kvadrāta koeficientiem.

• Izmantosim piemēru. Mēs vēlamies manuāli atrast kvadrātsakni no 400. Lai sāktu, mēs sadalīsim skaitli tā perfektajos kvadrātfaktoros. Tā kā 400 ir 100 reizinājums, mēs zinām, ka 400 dalās ar 25 - ideāls kvadrāts. Ātri sadalot ēnas, mēs atklājam, ka 400 dalīts ar 25 ir vienāds ar 16. Nejauši 16 ir arī ideāls kvadrāts. Tādējādi ideālie kvadrātveida koeficienti 400 ir 25 un 16 jo 25 × 16 = 400.
• Mēs varam to uzrakstīt šādi: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)

2. solis. Atrodiet savu perfekto kvadrātveida faktoru kvadrātsakni

Kvadrātsaknes reizināšanas īpašība nosaka, ka jebkuram skaitlim a un b Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Šī īpašuma dēļ tagad mēs varam atrast mūsu perfekto kvadrātveida faktoru kvadrātsakni un reizināt tos, lai iegūtu atbildi.

• Mūsu piemērā mēs atradīsim kvadrātsaknes 25 un 16. Skatiet tālāk:

  • Sakne (25 × 16)
  • Sakne (25) × sakne (16)

  • 5 × 4 =

    20. solis.

3. solis. Ja jūsu numuru nevar precīzi aprēķināt, vienkāršojiet savu atbildi vienkāršākajā formā

Reālajā dzīvē bieži vien skaitļi, kas nepieciešami kvadrātsaknes atrašanai, nav patīkami veseli skaitļi ar acīmredzamiem perfekta kvadrāta koeficientiem, piemēram, 400. Šādos gadījumos iespējams, ka nevaram atrast pareizo atbildi. Tomēr, atrodot pēc iespējas vairāk perfektu kvadrātveida koeficientu, jūs varat atrast atbildi kvadrātsaknes veidā, kas ir mazāka, vienkāršāka un vieglāk aprēķināma. Lai to izdarītu, samaziniet savu skaitu līdz perfektu kvadrātisko faktoru un nepilnīgu kvadrātveida koeficientu kombinācijai, pēc tam vienkāršojiet.

• Kā piemēru izmantosim kvadrātsakni no 147. 147 nav divu perfektu kvadrātu reizinājums, tāpēc mēs nevaram iegūt precīzu veselu skaitļu vērtību, kā norādīts iepriekš. Tomēr 147 ir viena perfekta kvadrāta un cita skaitļa - 49 un 3. - rezultāts. Mēs varam izmantot šo informāciju, lai uzrakstītu savu atbildi vienkāršākajā veidā šādi:

  • Sakne (147)
  • = Sakne (49 × 3)
  • = Kvadrāts (49) × kvadrātmetrs (3)
  • = 7 × sakne (3)

4. solis. Ja nepieciešams, novērtējiet

Izmantojot savu kvadrātsakni visvienkāršākajā formā, parasti ir diezgan viegli iegūt aptuvenu atbildes skaitļa novērtējumu, uzminot atlikušās kvadrātsaknes vērtību un to reizinot. Viens veids, kā vadīt savu minējumu, ir meklēt perfektus kvadrātus, kas ir lielāki par kvadrātsakni un ir mazāki par to. Jūs pamanīsit, ka skaitļa decimālā vērtība jūsu kvadrātsaknē ir starp diviem skaitļiem, lai jūs varētu uzminēt vērtību starp diviem skaitļiem.

• Atgriezīsimies pie mūsu piemēra. jo 2² = 4 un 1² = 1, mēs zinām, ka sakne (3) ir no 1 līdz 2 - iespējams, tuvāk 2 nekā 1. Mēs novērtējam 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9. Ja pārbaudām savu atbildi kalkulatorā, mēs redzam, ka mūsu atbilde ir diezgan tuvu patiesajai atbildei 12, 13.

  Tas attiecas arī uz lielākiem skaitļiem. Piemēram, sakni (35) var tuvināt no 5 līdz 6 (iespējams, tuvāk 6). 5² = 25 un 6² = 36. 35 ir no 25 līdz 36, tāpēc kvadrātsaknei jābūt no 5 līdz 6. Tā kā 35 ir tikai par vienu mazāks par 36, mēs varam ar pārliecību teikt, ka kvadrātsakne ir nedaudz mazāka par 6. Pārbaudot ar kalkulatoru, dodiet mums atbildi apmēram 5, 92 - mums ir taisnība.

5. solis. Kā pirmo soli samaziniet savu skaitu līdz vismazāk izplatītajiem faktoriem

Perfektu kvadrātu faktoru atrašana nav nepieciešama, ja varat viegli noteikt skaitļa galvenos koeficientus (faktorus, kas ir arī pirmskaitļi). Uzrakstiet savu numuru, ņemot vērā vismazāk izplatītos faktorus. Pēc tam atrodiet primāro skaitļu pārus, kas atbilst jūsu faktoriem. Kad atrodat divus vienādus primāros faktorus, noņemiet šos divus skaitļus no kvadrātsaknes un novietojiet vienu no šiem skaitļiem ārpus kvadrātsaknes.

• Piemēram, izmantojot šo metodi, atrodiet kvadrātsakni no 45. Mēs zinām, ka 45 × 5, un mēs zinām, ka zem 9 = 3 × 3. Tādējādi mēs varam uzrakstīt savu kvadrātsakni ar tādiem faktoriem kā: Sqrt (3 × 3 × 5). Vienkārši noņemiet abus 3 un ievietojiet vienu 3 ārpus kvadrātsaknes, lai vienkāršotu kvadrātsakni tās vienkāršākajā formā: (3) Sakne (5).

  No šejienes mums būs viegli novērtēt.

• Kā pēdējais problēmas piemērs mēģināsim atrast kvadrātsakni no 88:

  • Sakne (88)
  • = Sakne (2 × 44)
  • = Sakne (2 × 4 × 11)
  • = Sakne (2 × 2 × 2 × 11). Mūsu kvadrātsaknē ir 2. Tā kā 2 ir pirmskaitlis, mēs varam noņemt 2s pāri un vienu no tiem ievietot ārpus kvadrātsaknes.

  • = Mūsu kvadrātsakne vienkāršākajā formā ir (2) Sqrt (2 × 11) vai (2) Sakne (2) Sakne (11).

    No šejienes mēs varam novērtēt Sqrt (2) un Sqrt (11) un atrast aptuveno atbildi, kā vēlamies.

2. metode no 2: kvadrātveida saknes atrašana manuāli

Izmantojot garā dalīšanas algoritmu

1. solis. Atdaliet sava numura ciparus pāros

Šī metode izmanto garai dalīšanai līdzīgu procesu, lai pēc cipara atrastu precīzu kvadrātsaknes ciparu. Lai gan tas nav obligāti, jums var būt vieglāk veikt šo procesu, ja vizuāli sakārtojat savu darba vietu un savus numurus viegli lietojamās daļās. Vispirms uzzīmējiet vertikālu līniju, kas sadala jūsu darba zonu divās sadaļās, pēc tam uzvelciet īsāku horizontālu līniju augšējā labajā stūrī, lai sadalītu labo sadaļu mazākā augšējā un lielākā apakšējā sadaļā. Pēc tam atdaliet ciparus pāros, sākot no komata. Piemēram, ievērojot šo noteikumu, 79 520 789 182, 47897 kļūst par "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Uzrakstiet savu numuru augšējā kreisajā stūrī.

Piemēram, mēģināsim aprēķināt kvadrātsakni 780, 14. Uzzīmējiet divas līnijas, lai sadalītu darba vietu, kā norādīts iepriekš, un augšējā kreisajā stūrī ierakstiet "7 80. 14". Nav svarīgi, vai kreisais numurs ir viens skaitlis, nevis ciparu pāris. Jūs uzrakstīsit savu atbildi (kvadrātsakne 780, 14) augšējā labajā stūrī

2. solis. Atrodiet lielāko veselu skaitli, kura kvadrātiskā vērtība ir mazāka vai vienāda ar skaitli (vai skaitļu pāri) kreisajā malā

Sāciet no sava numura kreisās puses - gan skaitļu pāriem, gan atsevišķiem cipariem. Atrodiet lielāko perfekto kvadrātu, kas ir mazāks vai vienāds ar šo skaitli, un pēc tam atrodiet šī perfektā kvadrāta kvadrātsakni. Šis skaitlis ir n. Uzrakstiet n augšējā labajā stūrī un uzrakstiet kvadrātu n apakšējā labajā kvadrantā.

Mūsu piemērā galēji kreisais ir skaitlis 7. Jo mēs zinām, ka 2² = 4 ≤ 7 < 3² = 9, mēs varam teikt, ka n = 2, jo 2 ir lielākais vesels skaitlis, kura kvadrātiskā vērtība ir mazāka vai vienāda ar 7. Uzrakstiet 2 augšējā labajā kvadrantā. Šis ir mūsu atbildes pirmais cipars. Apakšējā labajā kvadrantā ierakstiet 4 (kvadrātveida vērtība 2). Šis skaitlis ir svarīgs nākamajam solim.

3. solis. No kreisākā pāra atņemiet tikko aprēķināto skaitli

Tāpat kā ar garu dalīšanu, nākamais solis ir atņemt tikko atrastā kvadrāta vērtību no tikko analizētās daļas. Uzrakstiet šo skaitli zem pirmās daļas un atņemiet to, zemāk ierakstot savu atbildi.

• Mūsu piemērā mēs uzrakstīsim 4 līdz 7, pēc tam atņemsim. Šī atņemšana dod atbildi

  3. solis..

4. solis. Nometiet nākamo pāri

Pārvietojiet uz leju nākamo skaitļa sadaļu, kurai meklējat kvadrātsakni, blakus tikko atrastajai atņemšanas vērtībai. Pēc tam reiziniet skaitli augšējā labajā kvadrantā ar diviem un uzrakstiet atbildi apakšējā labajā kvadrantā. Blakus tikko pierakstītajam skaitlim atstājiet atstarpi reizināšanas problēmai, ko veiksit nākamajā solī, ierakstot '"_ × _ ="'.

Mūsu piemērā nākamais mūsu skaitļu pāris ir "80". Kreisajā kvadrantā blakus 3 ierakstiet "80". Pēc tam reiziniet skaitli augšējā labajā stūrī ar diviem. Šis skaitlis ir 2, tātad 2 × 2 = 4. Apakšējā labajā kvadrantā ierakstiet "'4", kam seko _×_=.

5. solis. Aizpildiet tukšās vietas labajā kvadrantā

Jums ir jāaizpilda visas tukšās vietas, kuras tikko uzrakstījāt pareizajā kvadrantā ar tādu pašu veselu skaitli. Šim veselam skaitlim ir jābūt vislielākajam veselajam skaitlim, kura dēļ produkts labajā kvadrantā ir mazāks vai vienāds ar pašlaik kreisajā pusē esošo skaitli.

Mūsu piemērā mēs aizpildām tukšās vietas ar 8, iegūstot 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Šī vērtība ir lielāka par 384. Tādējādi 8 ir pārāk liels, bet 7 var darboties. Tukšajos laukos ierakstiet 7 un atrisiniet: 4 (7) × 7 = 329. 7 ir pareizs skaitlis, jo 329 ir mazāks par 380. Augšējā labajā kvadrantā ierakstiet 7. Šis ir otrais cipars kvadrātsaknē no 780, 14

6. solis. Atņemiet tikko aprēķināto skaitli no skaitļa, kas tagad atrodas kreisajā pusē

Turpiniet ar atņemšanas ķēdi, izmantojot garās dalīšanas metodi. Paņemiet problēmas rezultātu labajā kvadrantā un atņemiet to no skaitļa, kas tagad atrodas kreisajā pusē, vienlaikus rakstot atbildes.

Mūsu piemērā no 380 mēs atņemsim 329, kas dod rezultātu 51.

7. solis. Atkārtojiet 4. darbību

Atvasiniet nākamo skaitļa daļu, kurai meklējat kvadrātsakni. Sasniedzot skaitļa decimālzīmi, atbildes augšējā labajā kvadrantā ierakstiet decimālzīmi. Pēc tam reiziniet skaitli augšējā labajā stūrī ar 2 un uzrakstiet to blakus tukšajai reizināšanas problēmai ("_ × _"), kā norādīts iepriekš.

Mūsu piemērā, tā kā mēs tagad nodarbojamies ar decimālzīmi 780, 14, augšējā labajā stūrī uzrakstiet aiz komata aiz mūsu pašreizējās atbildes. Pēc tam nolaidiet nākamo pāri (14) kreisajā kvadrantā. Divreiz lielāks skaitlis augšējā labajā stūrī (27) ir vienāds ar 54, tāpēc apakšējā labajā kvadrantā ierakstiet "54 _ × _ ="

8. solis. Atkārtojiet 5. un 6. darbību

Atrodiet lielāko ciparu, lai aizpildītu tukšās vietas labajā pusē, kas sniedz atbildi, kas ir mazāka vai vienāda ar skaitli, kas pašlaik atrodas kreisajā pusē. Pēc tam atrisiniet problēmu.

Mūsu piemērā 549 × 9 = 4941, kas ir mazāks vai vienāds ar skaitli kreisajā pusē (5114). 549 × 10 = 5490 ir pārāk liels, tāpēc 9 ir jūsu atbilde. Uzrakstiet 9 kā nākamo ciparu augšējā labajā kvadrantā un atņemiet produktu no skaitļa kreisajā pusē: 5114 mīnus 4941 ir vienāds ar 173

9. solis. Lai turpinātu skaitīt ciparus, nolaidiet nulles pāri kreisajā pusē un atkārtojiet 4., 5. un 6. darbību

Lai iegūtu lielāku precizitāti, turpiniet šo procesu, lai savā atbildē atrastu simtiem, tūkstošiem un vairāk vietu. Turpiniet izmantot šo ciklu, līdz atrodat vajadzīgo decimāldaļu.

Izpratne par procesu

1. solis. Iedomājieties skaitli, no kura aprēķinājāt kvadrātsakni, kā kvadrāta laukumu S

Tā kā kvadrāta laukums ir P.² kur P ir vienas malas garums, tad, mēģinot atrast sava skaitļa kvadrātsakni, jūs faktiski mēģināt aprēķināt kvadrāta šīs malas garumu P.

2. solis. Nosakiet burtu mainīgos lielumus katram atbildes ciparam

Iestatiet mainīgo A kā P pirmo ciparu (kvadrātsakne, kuru mēs cenšamies aprēķināt). B būs otrais cipars, C trešais cipars utt.

3. solis. Nosakiet burtu mainīgos lielumus katrai sākuma numura daļai

Iestatiet mainīgo S_a pirmajam ciparu pārim S (jūsu sākotnējā vērtība), S_b otrajam ciparu pārim utt.

Solis 4. Izprotiet attiecības starp šo metodi un ilgu sadalījumu

Šī kvadrātsaknes atrašanas metode būtībā ir ilgstoša dalīšanas problēma, kas sadala jūsu sākotnējo skaitli ar kvadrātsakni, iegūstot atbildes kvadrātsakni. Tāpat kā ilgtermiņa dalīšanas problēmā, jūs interesē tikai nākamais cipars katrā solī. Tādā veidā jūs interesē tikai nākamie divi cipari katrā solī (kas ir nākamais kvadrātsaknes solis katrā solī).

Solis 5. Atrodiet lielāko skaitli, kura kvadrātveida vērtība ir mazāka vai vienāda ar S_a.

Mūsu atbildes pirmais cipars A ir lielākais vesels skaitlis, kura kvadrātiskā vērtība nepārsniedz S_a (ti, A, lai A² Sa <(A+1) ²). Mūsu piemērā S._a = 7 un 2² 7 <3², tātad A = 2.

Ņemiet vērā, ka, piemēram, ja vēlaties sadalīt 88962 ar 7, izmantojot garo dalījumu, pirmie soļi ir gandrīz vienādi: jūs redzēsit 88962 pirmo ciparu (kas ir 8) un meklējat lielāko ciparu kas, reizinot ar 7, ir mazāks vai vienāds ar 8 Būtībā jūs meklējat d, lai 7 × d 8 <7 × (d+1). Šajā gadījumā d būs vienāds ar 1

6. solis. Iedomājieties kvadrāta vērtību, kuras platību jūs gatavojaties sākt strādāt

Jūsu atbilde, jūsu sākuma skaitļa kvadrātsakne, ir P, kas apzīmē kvadrāta garumu ar laukumu S (jūsu sākuma numurs). Jūsu atzīmes A, B, C apzīmē ciparus P vērtībā. Vēl viens veids, kā to pateikt, ir 10A + B = P (divciparu atbildei), 100A + 10B + C = P (trīs- ciparu atbilde) utt.

Mūsu piemērā (10A+B) ² = P² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Atcerieties, ka 10A+B apzīmē mūsu atbildi, P, ar B vienoto pozīcijā un A desmito pozīcijā. Piemēram, ja A = 1 un B = 2, tad 10A+B ir 12. (10A+B) ² ir laukuma kopējā platība, savukārt 100A² ir lielākā laukuma platība tajā, B² ir mazākā kvadrāta laukums tajā, un 10A × B ir divu atlikušo taisnstūru laukums. Veicot šo garo un sarežģīto procesu, mēs atrodam kvadrāta kopējo platību, saskaitot kvadrātu un taisnstūru laukumus.

7. solis. Atņemiet A² no S_a.

Samaziniet vienu ciparu pāri (S._b) no S. S vērtība_a S_b tuvu laukuma kopējai platībai, kuru jūs tikko izmantojāt, lai atņemtu lielāku iekšējo kvadrātu. Pārējo var uzskatīt par skaitli N1, ko mēs ieguvām 4. solī (mūsu piemērā N1 = 380). N1 ir 2 un reizes: 10A × B + B² (divu taisnstūru laukums plus mazākā kvadrāta laukums).

8. solis. Atrodiet N1 = 2 × 10A × B + B², kas tiek rakstīts arī kā N1 = (2 × 10A + B) × B

Mūsu piemērā jūs jau zināt N1 (380) un A (2), tāpēc jums jāatrod B. B, visticamāk, nav vesels skaitlis, tāpēc jums patiešām jāatrod lielākais vesels skaitlis B, lai B) × B N1. Tātad jums ir: N1 <(2 × 10A+(B+1)) × (B+1).)

9. solis. Pabeidziet

Lai atrisinātu šo vienādojumu, reiziniet A ar 2, pārnesiet rezultātu uz desmito pozīciju (ekvivalents reizināšanai ar 10), ievietojiet B vienības pozīcijā un reiziniet skaitli ar B. Citiem vārdiem sakot, atrisiniet (2 × 10A + B) × B. Tas ir tieši tas, ko jūs darāt, 4. solī apakšējā labajā kvadrantā ierakstot “N_ × _ =” (ar N = 2 × A). 5. darbībā atrodat lielāko veselu skaitli B, kas atbilst skaitlis zem tā, lai (2 × 10A + B) × B N1.

10. solis. No kopējās platības atņemiet laukumu (2 × 10A + B) × B

Šīs atņemšanas rezultātā laukums S- (10A+B) ², kas nav aprēķināts (un kas tiks izmantots, lai aprēķinātu nākamo ciparu tādā pašā veidā).

11. solis. Lai aprēķinātu nākamo ciparu C, atkārtojiet procesu

Nolaidiet nākamo pāri (S._c) no S, lai kreisajā pusē iegūtu N2, un atrodiet lielāko C, lai jums būtu (2 × 10 × (10A+B)+C) × C N2 (līdzvērtīgi divkāršam divciparu skaitļa "AB" ierakstīšanai, kam seko "_ × _ =". Atrodiet tukšāko lielāko ciparu, kas sniedz atbildi, kas ir mazāka vai vienāda ar N2, kā iepriekš.

Padomi

• Decimāldaļas pārvietošana ar skaitļa divu ciparu reizinājumu (100 reizinājums) nozīmē, ka decimāldaļa jāpārvieto ar viena cipara reizinājumu tās kvadrātsaknē (10 reizinājums).
• Šajā piemērā 1,73 var uzskatīt par "atlikumu": 780, 14 = 27, 9² + 1,73.
• Šo metodi var izmantot jebkurai bāzei, nevis tikai 10 bāzei (aiz komata).
• Jūs varat izmantot aprēķinus, kas jums ir ērtāk. Daži cilvēki uzraksta rezultātu virs sākotnējā numura.
• Alternatīvs atkārtotu frakciju izmantošanas veids ir ievērot šo formulu: z = (x^2 + y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x +…))). Piemēram, lai aprēķinātu kvadrātsakni no 780, 14, vesels skaitlis, kura vērtība kvadrātā ir vistuvāk 780, 14, ir 28, tātad z = 780, 14, x = 28 un y = -3, 86. Vērtību ievadīšana un aprēķinot aprēķinus tikai x + y/(2x), iegūst (vienkāršā izteiksmē) 78207/20800 vai aptuveni 27, 931 (1); nākamais termiņš, 4374188/156607 vai aptuveni 27, 930986 (5). Katrs termins pievieno aptuveni 3 zīmes aiz komata, lai precizētu iepriekšējo ciparu aiz komata.

Brīdinājums

Noteikti atdaliet ciparus pāros, sākot no komata. Sadalās 79 520 789 182, 47897 uz "79 52 07 89 18 2, 4 78 97 "atgriezīs bezjēdzīgu numuru.