Trinomial ir algebriska izteiksme, kas sastāv no trim terminiem. Visticamāk, jūs sāksiet mācīties, kā aprēķināt kvadrātisko trinomiju, kas nozīmē trinomiju, kas rakstīts cirvja formā2 + bx + c. Ir jāapgūst daži triki, kurus var izmantot daudziem dažāda veida kvadrātveida trinomāliem, taču jūs tos varēsit izmantot labāk un ātrāk, praktizējot. Augstākas kārtas polinomi ar tādiem terminiem kā x3 vai x4, ne vienmēr var atrisināt vienādi, bet jūs bieži varat izmantot vienkāršu faktoringu vai aizstāšanu, lai to pārvērstu par problēmu, kuru var atrisināt tāpat kā jebkuru citu kvadrātisko formulu.
Solis
1. metode no 3: Faktorēšana x2 + bx + c
1. solis. Uzziniet PLDT reizināšanu
Jūs, iespējams, esat iemācījušies reizināt PLDT vai “Pirmkārt, ārpus, iekšā, pēdējā”, lai reizinātu tādas izteiksmes kā (x+2) (x+4). Ir lietderīgi zināt, kā šī reizināšana darbojas, pirms mēs ņemam vērā:
- Reiziniet ciltis Vispirms: (x+2)(x+4) = x2 + _
-
Reiziniet ciltis Ārā: (x+2) (x+
4. solis.) = x2+ 4x + _
-
Reiziniet ciltis In: (x+
2. solis.)(x+4) = x2+4x+ 2x + _
-
Reiziniet ciltis Fināls: (x+
2. solis.) (x
4. solis.) = x2+4x+2x
8. solis.
- Vienkāršojiet: x2+4x+2x+8 = x2+6x+8
2. solis. Izprotiet faktoringu
Reizinot divus binomi, izmantojot PLDT metodi, tiek iegūts trinomiāls (izteiksme ar trim terminiem) formā x2+ b x+ c, kur a, b un c ir parastie skaitļi. Ja sākat ar vienādojumu, kuram ir tāda pati forma, varat to sadalīt divos binomiālos.
- Ja vienādojumi nav rakstīti šādā secībā, pārkārtojiet vienādojumus tā, lai tiem būtu šāda secība. Piemēram, pārrakstīt 3x - 10 + x2 Kļūst x2 + 3x - 10.
- Tā kā lielākā jauda ir 2 (x2, šo izteiksmes veidu sauc par kvadrātisko.
Solis 3. Atbildei atstājiet tukšu vietu PLDT reizināšanas veidā
Pagaidām vienkārši rakstiet (_ _)(_ _) kur uzrakstīsi atbildi. Mēs to aizpildīsim, strādājot pie tā
Nerakstiet + vai - starp tukšajiem terminiem, jo mēs vēl nezinām pareizo zīmi
4. solis. Aizpildiet pirmos nosacījumus
Vienkāršu problēmu gadījumā jūsu trinomijas pirmais termins ir tikai x2, pirmajā pozīcijā esošie noteikumi vienmēr ir x un x. Šie ir termina x faktori2 jo x reizes x = x2.
- Mūsu piemērs x2 + 3x - 10, sākot ar x2, tāpēc mēs varam rakstīt:
- (x _) (x _)
- Nākamajā sadaļā mēs strādāsim pie sarežģītākām problēmām, tostarp trinomi, kas sākas ar tādiem terminiem kā 6x2 vai -x2. Tikmēr sekojiet šiem izlases jautājumiem.
5. solis. Izmantojiet faktoringu, lai uzminētu pēdējos nosacījumus
Ja atgriezīsities un izlasīsit PLDT pavairošanas darbības, redzēsit, ka, reizinot pēdējos terminus, tiks iegūts pēdējais polinoma termins (termini, kuriem nav x). Tātad, lai ņemtu vērā faktoru, mums jāatrod divi skaitļi, kas, reizinot, radīs pēdējo terminu.
- Mūsu piemērā x2 + 3x - 10, pēdējais termiņš ir -10.
- Kādi ir faktori -10? Kādu skaitli reizina ar -10?
- Ir vairākas iespējas: -1 reizes 10, 1 reizi -10, -2 reizes 5 vai 2 reizes -5. Pierakstiet šos pārus kaut kur, lai tos atcerētos.
- Nemainiet mūsu atbildi. Mūsu atbildei joprojām vajadzētu izskatīties šādi: (x _) (x _).
6. solis. Pārbaudiet iespējas, kas atbilst ārējam un iekšējam produktam
Mēs esam sašaurinājuši pēdējos terminus līdz dažām iespējām. Izmantojiet izmēģinājuma sistēmu, lai pārbaudītu visas iespējas, reizinot ārējos un iekšējos terminus un salīdzinot produktu ar mūsu trinomialu. Piemēram:
- Mūsu sākotnējai problēmai bija termins "x" 3x, tāpēc mūsu testa rezultātiem jāatbilst šim terminam.
- Testi -1 un 10: (x -1) (x+10). Ārpus + Iekšpusē = 10x - x = 9x. Nepareizi.
- Testi 1 un -10: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. Tas ir nepareizi. Patiesībā, ja pārbaudīsit -1 un 10, atklāsit, ka 1 un -10 ir pretēji iepriekš minētajai atbildei: -9x, nevis 9x.
- Testi -2 un 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Rezultāts atbilst sākotnējam polinomam, tāpēc šeit ir pareizā atbilde: (x-2) (x+5).
- Šādos vienkāršos gadījumos, ja termina x priekšā nav konstanta2, varat izmantot ātro veidu: vienkārši saskaitiet abus faktorus un aiz tā ievietojiet "x" (-2+5 → 3x). Tomēr šī metode nedarbojas sarežģītākām problēmām, tāpēc labāk atcerēties iepriekš aprakstīto "garo ceļu".
2. metode no 3: sarežģītāku trijstūru faktoru noteikšana
1. solis. Izmantojiet vienkāršu faktoringu, lai vienkāršotu sarežģītākas problēmas
Piemēram, jums ir jāņem vērā 3x2 + 9x - 30. Atrodiet skaitli, kas var ietekmēt visus trīs vienumus ("lielākais kopējais faktors" vai GCF). Šajā gadījumā GCF ir 3:
- 3x2 = (3) (x2)
- 9x = (3) (3x)
- -30 = (3)(-10)
- Tādējādi 3x2 + 9x - 30 = (3) (x2+3x-10). Mēs varam noteikt jauno trinomu, izmantojot iepriekšējā sadaļā norādītās darbības. Mūsu galīgā atbilde būs (3) (x-2) (x+5).
2. solis. Meklējiet sarežģītākus faktorus
Dažreiz faktorings var ietvert mainīgu lielumu, vai arī, lai atrastu pēc iespējas vienkāršāku izteiksmi, jums, iespējams, būs jāņem vērā vairākas reizes. Šeit ir daži piemēri:
- 2x2y + 14xy + 24y = (2 gadi)(x2 + 7x + 12)
- x4 + 11x3 - 26 reizes2 = (x2)(x2 +11x - 26)
- -x2 + 6x - 9 = (-1)(x2 - 6x + 9)
- Neaizmirstiet pārveidot jauno trinomialu, izmantojot 1. metodē norādītās darbības. Pārbaudiet savu darbu un meklējiet līdzīgu problēmu piemērus šīs lapas apakšā esošajos parauga jautājumos.
Solis 3. Atrisiniet problēmas ar skaitli x priekšā2.
Dažus kvadrātveida trīsstūrus nevar reducēt uz vieglāko problēmu veidu. Uzziniet, kā atrisināt tādas problēmas kā 3x2 + 10x + 8, pēc tam praktizējiet pats, izmantojot šīs lapas apakšā esošos jautājumu paraugus:
- Iestatiet mūsu atbildi uz: (_ _)(_ _)
- Katram mūsu pirmajam terminam būs viens x, un, reizinot tos, būs 3x2. Pastāv tikai viena iespēja: (3x _) (x _).
- Uzskaitiet faktorus no 8. Izredzes ir 1 reizes 8 vai 2 reizes 4.
- Pārbaudiet šo iespēju, izmantojot ārējos un iekšējos terminus. Ņemiet vērā, ka faktoru secība ir ļoti svarīga, jo ārējais termins tiek reizināts ar 3x x vietā. Izmēģiniet visas iespējas, līdz iegūstat Out+In = 10x (no sākotnējās problēmas):
- (3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x Nē
- (3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x Nē
- (3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x Nē
- (3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x Jā. Tas ir pareizais faktors.
4. solis. Izmantojiet aizvietošanu augstākas kārtas trinomialiem
Jūsu matemātikas grāmata var pārsteigt jūs ar vienādojumiem ar lielām pilnvarām, piemēram, x4, pat pēc vienkāršas faktoringa izmantošanas, lai atvieglotu problēmu. Mēģiniet aizstāt jaunu mainīgo, kas pārvērš to par problēmu, kuru zināt, kā atrisināt. Piemēram:
- x5+13 reizes3+36x
- = (x) (x4+13 reizes2+36)
- Izveidosim jaunu mainīgo. Pieņemsim, ka y = x2 un ielieciet tajā:
- (x) (g2+13g+36)
- = (x) (y+9) (y+4). Tagad konvertējiet to atpakaļ uz sākotnējo mainīgo:
- = (x) (x2+9) (x2+4)
- = (x) (x ± 3) (x ± 2)
3. metode no 3: faktoru noteikšana īpašos gadījumos
1. solis. Atrodiet pirmskaitļus
Paskatieties, vai trinomijas pirmā vai trešā termiņa konstante ir pirmskaitlis. Pirmskaitlis ir dalāms tikai ar sevi un 1, tāpēc ir tikai viens iespējamais binomiālo faktoru pāris.
- Piemēram, x2 + 6x + 5, 5 ir pirmskaitlis, tāpēc binomiālam jābūt formas (_ 5) (_ 1).
- 3x uzdevumā2+10x+8, 3 ir pirmskaitlis, tāpēc binomiālam jābūt formas (3x _) (x _).
- Jautājumiem 3x2+4x+1, gan 3, gan 1 ir pirmskaitļi, tāpēc vienīgais iespējamais risinājums ir (3x+1) (x+1). (Lai pārbaudītu atbildi, šis skaitlis tomēr jāreizina, jo dažus izteicienus vispār nevar ņemt vērā, piemēram, 3x2+100x+1 nav faktora.)
2. solis. Uzziniet, vai trinomial ir ideāls kvadrāts
Perfektu kvadrātveida trinomiju var sadalīt divos identiskos binomiālos, un koeficientu parasti raksta kā (x+1)2 nevis (x+1) (x+1). Šeit ir daži piemēri, kas parasti parādās jautājumos:
- x2+2x+1 = (x+1)2un x2-2x+1 = (x-1)2
- x2+4x+4 = (x+2)2un x2-4x+4 = (x-2)2
- x2+6x+9 = (x+3)2un x2-6x+9 = (x-3)2
- Perfekts kvadrātveida trinoms x formā2 + bx + c vienmēr ir termini a un c, kas ir pozitīvi perfekti kvadrāti (piemēram, 1, 4, 9, 16 vai 25) un viens termins b (pozitīvs vai negatīvs), kas ir vienāds ar 2 (√a * √c).
3. solis. Uzziniet, vai problēmai nav risinājuma
Ne visi trinomi var tikt ņemti vērā. Ja jūs nevarat noteikt kvadrātisko trinomiālu (cirvis2+bx+c), lai atrastu atbildi, izmantojiet kvadrātisko formulu. Ja vienīgā atbilde ir negatīva skaitļa kvadrātsakne, reāla skaitļa risinājuma nav, tad problēmai nav faktoru.
Trīsstūriem, kas nav kvadrātveida, izmantojiet Eizenšteina kritēriju, kas aprakstīts sadaļā Padomi
Atbildes un jautājumu paraugi
-
Atbildes uz "sarežģītiem faktoringa" jautājumiem.
Šie ir jautājumi no "sarežģītākiem faktoriem". Mēs esam vienkāršojuši problēmas vieglākās, tāpēc mēģiniet tās atrisināt, izmantojot 1. metodes darbības, un pēc tam pārbaudiet savu darbu šeit:
- (2 gadi) (x2 + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
- (x2) (x2 + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
- (-1) (x2 -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)2
-
Izmēģiniet sarežģītākas faktoringa problēmas.
Šīm problēmām katrā terminā ir viens un tas pats faktors, kas vispirms jāņem vērā. Aizveriet tukšās vietas pēc vienādības zīmes, lai redzētu atbildes, lai jūs varētu pārbaudīt savu darbu:
- 3x3+3x2-6x = (3x) (x+2) (x-1) bloķējiet tukšo, lai redzētu atbildi
- -5x3g2+30x2g2-25 g2x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)
-
Praktizējiet jautājumu izmantošanu. Šīs problēmas nevar iekļaut vienkāršākos vienādojumos, tāpēc jums būs jāatrod forma (_x + _) (_ x + _), izmantojot izmēģinājumus un kļūdas:
- 2x2+3x-5 = (2x+5) (x-1) bloks, lai redzētu atbildi
- 9x2+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)2 (Padoms: iespējams, vēlēsities izmēģināt vairāk nekā vienu faktoru pāri 9 reizes.)
Padomi
- Ja jūs nevarat saprast, kā aprēķināt kvadrātisko trinomiju (cirvis)2+bx+c), varat izmantot kvadrātisko formulu, lai atrastu x.
-
Lai gan jums nav jāzina, kā to izdarīt, varat izmantot Eizenšteina kritērijus, lai ātri noteiktu, vai polinomu nevar vienkāršot un aprēķināt. Šis kritērijs attiecas uz jebkuru polinomu, bet vislabāk to izmanto trinomiem. Ja ir pirmskaitlis p, kas vienmērīgi sadala pēdējos divus nosacījumus un atbilst šādiem nosacījumiem, tad polinomu nevar vienkāršot:
- Pastāvīgi termini (bez mainīgajiem) ir p reizinājumi, bet ne p reizinājumi2.
- Prefikss (piemēram, a cirvī2+bx+c) nav p reizinājums.
- Piemēram, 14x2 +45x +51 nevar vienkāršot, jo pastāv pirmskaitlis (3), ko var dalīt gan ar 45, gan 51, bet nedalīt ar 14, un 51 nav dalāms ar 32.
Brīdinājums
Lai gan tas attiecas uz kvadrātveida trinomialiem, trinomiju, ko var ņemt vērā, ne vienmēr ir divu binomiju produkts. Piemēram, x4 + 105x + 46 = (x2 + 5x + 2) (x2 - 5x + 23).
