Katrai funkcijai ir divi mainīgie, proti, neatkarīgais un atkarīgais. Burtiski atkarīgā mainīgā vērtība ir "atkarīga" no neatkarīgā mainīgā. Piemēram, funkcijā y = f (x) = 2 x + y, x ir neatkarīgais mainīgais un y ir atkarīgs mainīgais (citiem vārdiem sakot, y ir funkcija x). Zināmā mainīgā x derīgās vērtības sauc par "izcelsmes domēniem". Zināmā y mainīgā derīgās vērtības sauc par “rezultātu diapazonu”.
Solis
1. daļa no 3: Funkcijas domēna atrašana
1. solis. Izlemiet, kāda veida funkciju jūs gatavojaties veikt
Funkcijas domēns ir visas x vērtības (horizontālā ass), kas atgriezīs derīgas y vērtības. Funkcijas vienādojums var būt kvadrāts, daļa vai sakne. Lai aprēķinātu funkcijas domēnu, pirmā lieta, kas jums jādara, ir pārbaudīt vienādojuma mainīgos.
- Kvadrātfunkcijai ir cirvja forma2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4
- Funkciju piemēri ar frakcijām ir šādi: f (x) = (1/x), f (x) = (x+1)/(x - 1), un citi.
- Funkcijas, kurām ir saknes, ietver: f (x) = x, f (x) = (x2 + 1), f (x) = -x utt.
2. solis. Pierakstiet domēnu ar atbilstošu apzīmējumu
Funkcijas domēna rakstīšana ietver kvadrātiekavu [,], kā arī iekavu (,) izmantošanu. Izmantojiet kvadrātiekavas [,], ja numurs pieder domēnam, un izmantojiet iekavas (,), ja domēns neietver numuru. Burts U apzīmē savienību, kas savieno domēna daļas, kuras var atdalīt ar attālumu.
- Piemēram, [-2, 10) U (10, 2] domēns ietver -2 un 2, bet neietver skaitli 10.
- Vienmēr izmantojiet iekavas (), ja izmantojat bezgalības simbolu,.
3. solis. Uzzīmējiet kvadrātvienādojuma grafiku
Kvadrātvienādojumi rada parabolisku grafiku, kas atveras augšup vai lejup. Ņemot vērā, ka parabola x-asī turpinās bezgalību, vairuma kvadrātvienādojumu domēns ir visi reālie skaitļi. Citiem vārdiem sakot, kvadrātiskais vienādojums ietver visas x vērtības skaitļu rindā, norādot domēnu R (simbols visiem reālajiem skaitļiem).
- Lai atrisinātu funkciju, izvēlieties jebkuru x vērtību un ievadiet to funkcijā. Atrisinot funkciju ar x vērtību, tiks atgriezta y vērtība. X un y vērtības ir funkcijas grafika (x, y) koordinātas.
- Uzzīmējiet šīs koordinātas grafikā un atkārtojiet procesu ar citu x vērtību.
- Uzzīmējot dažas šī modeļa vērtības, jūs iegūsit pārskatu par kvadrātiskās funkcijas formu.
4. solis. Ja funkcijas vienādojums ir daļskaitlis, saucēju padariet vienādu ar nulli
Strādājot ar daļskaitļiem, jūs nekad nevarat dalīt ar nulli. Padarot saucēju vienādu ar nulli un atrodot x vērtību, jūs varat aprēķināt vērtības, kas jāizņem no funkcijas.
- Piemēram: nosakiet funkcijas f (x) = domēnu (x+1)/(x - 1).
- Funkcijas saucējs ir (x - 1).
- Padariet saucēju vienādu ar nulli un aprēķiniet x vērtību: x - 1 = 0, x = 1.
- Pierakstiet domēnu: Funkcijas domēns neietver 1, bet ietver visus reālos skaitļus, izņemot 1; tāpēc domēns ir (-∞, 1) U (1,).
- (-∞, 1) U (1,) var nolasīt kā visu reālo skaitļu kolekciju, izņemot 1. Bezgalības simbols, apzīmē visus reālos skaitļus. Šajā gadījumā domēnā tiek iekļauti visi reālie skaitļi, kas lielāki par 1 un mazāki par 1.
5. solis. Ja vienādojums ir saknes funkcija, padariet saknes mainīgos lielākus vai vienādus ar nulli
Nevar izmantot negatīva skaitļa kvadrātsakni; tāpēc jebkura x vērtība, kas noved pie negatīva skaitļa, ir jānoņem no funkcijas domēna.
- Piemēram: atrodiet funkcijas f (x) = (x + 3) domēnu.
- Mainīgie saknē ir (x + 3).
- Padariet vērtību lielāku vai vienādu ar nulli: (x + 3) 0.
- Aprēķiniet x vērtību: x -3. Atrisiniet x: x -3.
- Funkcijas domēns ietver visus reālos skaitļus, kas lielāki vai vienādi ar -3; tāpēc domēns ir [-3,).
2. daļa no 3: Kvadrātvienādojuma diapazona atrašana
1. solis. Pārliecinieties, vai jums ir kvadrātiskā funkcija
Kvadrātfunkcijai ir cirvja forma2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4. Kvadrātfunkcijas grafiks ir parabola, kas atveras augšup vai lejup. Funkcijas diapazona aprēķināšanai ir dažādi veidi atkarībā no tā, ar kādu funkciju jūs strādājat.
Vienkāršākais veids, kā noteikt citu funkciju diapazonu, piemēram, saknes funkciju vai frakcijas funkciju, ir funkcijas grafiks, izmantojot grafisko kalkulatoru
2. solis. Atrodiet funkcijas virsotnes x vērtību
Kvadrātiskās funkcijas virsotne ir parabolas virsotne. Atcerieties, ka kvadrātiskās funkcijas forma ir cirvis2 + bx + c. Lai atrastu x koordinātu, izmantojiet vienādojumu x = -b/2a. Vienādojums ir kvadrātiskās pamatfunkcijas atvasinājums, kas attēlo vienādojumu ar nulles slīpumu/slīpumu (grafika virsotnē funkcijas gradients ir nulle).
- Piemēram, atrodiet diapazonu 3x2 + 6x -2.
- Aprēķiniet virsotnes x koordinātu: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1
Solis 3. Aprēķiniet funkcijas virsotnes y vērtību
Pievienojiet x koordinātu funkcijai, lai aprēķinātu atbilstošo virsotnes y vērtību. Šī y vērtība norāda funkcijas diapazona robežu.
- Aprēķiniet y koordinātu: y = 3x2 + 6x-2 = 3 (-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
- Šīs funkcijas virsotne ir (-1, -5).
4. solis. Nosakiet parabolas virzienu, pievienojot vēl vismaz vienu x vērtību
Izvēlieties jebkuru citu x vērtību un pievienojiet to funkcijai, lai aprēķinātu atbilstošo y vērtību. Ja y vērtība ir virs virsotnes, parabola turpina +∞. Ja y vērtība ir zem virsotnes, parabola turpinās līdz -∞.
- Izmantojiet x vērtību -2: y = 3x2 + 6x-2 = y = 3 (-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- Šis aprēķins atgriež koordinātas (-2, -2).
- Šīs koordinātas parāda, ka parabola turpinās virs virsotnes (-1, -5); tāpēc diapazonā ir iekļautas visas y vērtības, kas ir lielākas par -5.
- Šīs funkcijas diapazons ir [-5,).
5. solis. Pierakstiet diapazonu ar atbilstošu apzīmējumu
Tāpat kā domēni, diapazoni tiek rakstīti ar vienādu apzīmējumu. Izmantojiet kvadrātiekavas [,], ja skaitlis ir diapazonā, un izmantojiet iekavas (,), ja diapazons neietver skaitli. Burts U apzīmē savienību, kas savieno diapazona daļas, kuras var atdalīt ar attālumu.
- Piemēram, [-2, 10) U (10, 2] diapazons ietver -2 un 2, bet neietver skaitli 10.
- Vienmēr izmantojiet iekavas, ja izmantojat bezgalības simbolu,.
3. daļa no 3: Diapazona atrašana no funkcijas grafika
Solis 1. Uzzīmējiet funkciju
Bieži vien vienkāršākais veids, kā noteikt funkcijas diapazonu, ir tās grafiks. Daudzām sakņu funkcijām ir diapazons (-∞, 0] vai [0, +∞), jo horizontālās parabolas virsotne (sānu parabole) atrodas uz horizontālās x ass. Šajā gadījumā funkcija ietver visas pozitīvās y vērtības, ja atveras parabola, vai visas negatīvās y vērtības, ja parabola atveras uz leju. Frakciju funkcijām būs asimptotes (līnijas, kuras nekad negriež taisna līnija / līkne, bet tiek tuvinātas bezgalībai), kas nosaka funkcijas diapazonu.
- Dažas saknes funkcijas sāksies virs vai zem x ass. Šajā gadījumā diapazonu nosaka skaitlis, no kura sākas saknes funkcija. Ja parabola sākas ar y = -4 un iet uz augšu, tad diapazons ir [-4, +∞).
- Vienkāršākais veids, kā uzzīmēt funkciju, ir grafisko programmu vai grafisko kalkulatoru izmantošana.
- Ja jums nav grafiskā kalkulatora, varat uzzīmēt aptuvenu diagrammas skici, pievienojot funkcijai x vērtību un iegūstot atbilstošo y vērtību. Uzzīmējiet šīs koordinātas diagrammā, lai iegūtu priekšstatu par to, kā izskatās grafiks.
2. solis. Atrodiet funkcijas minimālo vērtību
Tūlīt pēc funkcijas uzzīmēšanas jums vajadzētu skaidri redzēt grafika zemāko punktu. Ja nav skaidras minimālās vērtības, ziniet, ka dažas funkcijas turpinās pie -∞ (bezgalība).
Frakcijas funkcija ietver visus punktus, izņemot tos, kas atrodas asimptotos. Funkcijai ir tāds diapazons kā (-∞, 6) U (6,)
3. solis. Nosakiet funkcijas maksimālo vērtību
Atkal pēc grafika uzzīmēšanas jums vajadzētu būt iespējai noteikt funkcijas maksimālo punktu. Dažas funkcijas turpināsies pie +∞, un tāpēc tām nebūs minimālās vērtības.
4. solis. Uzrakstiet diapazonu ar atbilstošu apzīmējumu
Tāpat kā domēni, diapazoni tiek rakstīti ar vienādu apzīmējumu. Izmantojiet kvadrātiekavas [,], ja skaitlis ir diapazonā, un izmantojiet iekavas (,), ja diapazons neietver skaitli. Burts U apzīmē savienību, kas savieno diapazona daļas, kuras var atdalīt ar attālumu.
- Piemēram, [-2, 10) U (10, 2] diapazons ietver -2 un 2, bet neietver skaitli 10.
- Vienmēr izmantojiet iekavas, ja izmantojat bezgalības simbolu,.
