6 apjoma aprēķināšanas veidi

2024 Autors: Jason Gerald | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-15 08:19

Objekta tilpums attēlo trīsdimensiju telpu, ko aizņem objekts. Jūs varat arī domāt par tilpumu kā to, cik daudz ūdens (vai gaisa, vai smilšu utt.) Forma var saturēt, ja forma ir pilnībā piepildīta. Tilpumam parasti izmanto kubikcentimetru (cm)³), kubikmetri (m³), kubikcollas (collas)³) un kubikpēdas (ft³). Šis raksts iemācīs jums aprēķināt sešu dažādu trīsdimensiju formu apjomus, kas bieži atrodami matemātikas eksāmenos, ieskaitot kubus, sfēras un konusus. Jūs varat pamanīt, ka daudzām no šīm apjoma formulām ir kaut kas kopīgs, tāpēc tās ir viegli atcerēties. Skatiet, vai varat to izdomāt!

Informācija īsumā: izplatītāko veidlapu apjoma aprēķināšana

1. Cietam kubam vai kvadrātam izmēriet garumu, platumu un augstumu un pēc tam tos visus reiziniet, lai iegūtu apjomu. Skatiet attēlus un detaļas.
2. Izmēriet caurules augstumu un pamatnes rādiusu. Izmantojiet šo rādiusu, lai atrastu bāzes laukumu, izmantojot formulu r², tad reiziniet rezultātu ar caurules augstumu. Skatiet attēlus un detaļas.
3. Standarta piramīdas tilpums ir vienāds ar x bāzes laukumu x augstumu. Skatiet attēlus un detaļas.
4. Konusa tilpumu var aprēķināt, izmantojot formulu r²h, kur r ir pamatnes rādiuss un h ir konusa augstums. Skatiet attēlus un detaļas.

5. Lai izmērītu sfēras tilpumu, viss, kas jums nepieciešams, ir tā rādiuss r. Pievienojiet šo vērtību formulai ⁴/₃r³. Skatiet attēlus un detaļas.

   Solis

   1. metode no 6: kuba tilpuma aprēķināšana

   

   Solis 1. Ziniet kuba formu

   Kubs ir trīsdimensiju forma, kurai ir sešas vienāda izmēra kvadrātveida malas. Citiem vārdiem sakot, kubs ir kaste ar visām pusēm vienāda izmēra.

   Sešpusējs kauliņš ir piemērs kubam, ko jūs varētu atrast savās mājās. Cukura bloki un bērnu rotaļlietu burtu bloki parasti ir arī kubi

   

   2. solis. Uzziniet kuba tilpuma formulu

   Formula ir vienkārša V = s3, kur V apzīmē tilpumu un s apzīmē kuba sānu garumu.

   Lai atrastu s³, reiziniet a ar savu vērtību 3 reizes: s³ = s * s * s

   

   Solis 3. Izmēriet kuba vienas malas garumu

   Atkarībā no jūsu uzdevuma kubā šī informācija, iespējams, jau ir parakstīta, vai arī jums būs jāmēra malu garums ar lineālu. Paturiet prātā, ka, tā kā tas ir kubs, visi sānu garumi būs vienādi, tāpēc nav svarīgi, kuru malu mērāt.

   Ja neesat 100% pārliecināts, ka jūsu forma ir kubs, izmēriet katru malu, lai redzētu, vai tas ir vienāda izmēra. Ja tie nav vienādi, jums jāizmanto zemāk esošā metode, lai aprēķinātu bloka apjomu

   

   Solis 4. Pievienojiet sānu garumus formulai V = s³ un saskaitīt.

   Piemēram, ja jūsu kuba malu garums ir 5 collas, tad jūs rakstītu formulu šādi: V = (5 collas)³. 5 collas * 5 collas * 5 collas = 125 collas³, tas ir mūsu kuba tilpums!

   

   Solis 5. Izsakiet rezultātu kubikvienībās

   Iepriekš minētajā piemērā mūsu kuba sānu garumi tiek mērīti collās, tāpēc tilpuma vienība ir kubikcollas. Piemēram, ja malas garums ir 3 centimetri, tilpums ir V = (3 cm)³vai V = 27 cm³.

   2. metode no 6: Bloka tilpuma aprēķināšana

   

   Solis 1. Ziniet bloka formu

   Bloks, saukts arī par taisnstūra prizmu, ir trīsdimensiju forma ar sešām taisnstūra malām. Citiem vārdiem sakot, bloks ir trīsdimensiju taisnstūra forma vai kastes forma.

   Kubs ir tikai īpašs bloks ar visām pusēm vienāda izmēra

   

   2. solis. Uzziniet formulu, lai aprēķinātu taisnstūra tilpumu

   Taisnstūra tilpuma formula ir Tilpums = garums * platums * augstums vai V = plt.

   

   Solis 3. Atrodiet bloka garumu

   Šis garums ir garākā sijas sānu daļa, kas ir paralēla virsmai, uz kuras ir novietots stars. Šis garums, iespējams, jau ir norādīts diagrammā, vai arī jums tas jāmēra ar lineālu vai mērlenti.

   • Piemērs: šī bloka garums ir 4 collas, tātad p = 4 collas.
   • Neuztraucieties par to, kura puse ir garums, platums un augstums. Kamēr izmantojat trīs dažādus mērījumus, gala rezultāts būs vienāds neatkarīgi no tā, kā tos pasūtīsit.

   

   Solis 4. Atrodiet stara platumu

   Sijas platums ir cietās daļas īsākās puses mērījums, kas ir paralēls staru kūļa novietošanas vietai. Atkal meklējiet diagrammā etiķeti, kas norāda platumu, vai izmēriet to pats ar lineālu vai mērlenti.

   • Piemērs: šī bloka platums ir 3 collas, tātad l = 3 collas.
   • Ja mērāt blokus ar lineālu vai mērlenti, pārliecinieties, ka to darāt, izmantojot tās pašas vienības. Nemēriet vienu pusi collās, bet otru centimetros; visos mērījumos jāizmanto vienas un tās pašas vienības!

   

   Solis 5. Atrodiet bloka augstumu

   Šis augstums ir attālums no sijas virsmas, kas novietota līdz sijas augšai. Atrodiet diagrammā informāciju par augstumu vai izmēriet sevi ar lineālu vai mērlenti.

   Piemērs: šī bloka augstums ir 6 collas, t = 6 collas

   

   6. solis. Pievienojiet taisnstūra mērījumus tilpuma formulai un aprēķiniet tos

   Atcerieties, ka V = plt.

   Mūsu piemērā p = 4, l = 3 un t = 6. Tāpēc V = 4 * 3 * 6 vai 72

   

   7. solis. Noteikti pierakstiet rezultātu kubikvienībās

   Tā kā mūsu parauga bloks tiek mērīts collās, tā tilpums jāraksta kā 72 kubikcollas vai 72 collas³.

   Ja mūsu taisnstūra izmēri ir: garums = 2 cm, platums = 4 cm un augstums = 8 cm, tad bloka tilpums ir 2 cm * 4 cm * 8 cm vai 64 cm³.

   3. metode no 6: Caurules tilpuma aprēķināšana

   

   1. solis. Nosakiet caurules formu

   Caurule ir trīsdimensiju forma ar diviem identiskiem plakaniem galiem, kas ir apaļas formas, un izliekta puse, kas savieno abus.

   Kārba ir caurules piemērs, tāpat kā AA vai AAA baterijas

   

   2. solis. Atcerieties cilindra tilpuma formulu

   Lai aprēķinātu cilindra tilpumu, jums jāzina pamatapļa augstums un rādiuss (attālums no apļa centra līdz malām) augšpusē un apakšā. Formula ir V = r²t, kur V ir tilpums, r ir pamata apļa rādiuss, t ir augstums un ir konstanta pi vērtība.

   • Dažās ģeometrijas problēmās atbilde būs par pi, bet vairumā gadījumu pi varam noapaļot līdz 3, 14. Apstipriniet to ar savu instruktoru, lai noskaidrotu, kuram no tiem viņš dod priekšroku.
   • Formula cilindra tilpuma noteikšanai patiesībā ir ļoti līdzīga taisnstūra tilpuma formulai: jūs vienkārši reiziniet formas augstumu ar pamatnes virsmas laukumu. Taisnstūra formā šī virsmas laukums ir p * l, bet cilindram tas ir r², t.i., apļa laukums ar rādiusu r.

   

   Solis 3. Atrodiet bāzes rādiusu

   Ja tas norādīts diagrammā, izmantojiet vērtību. Ja rādiusa vietā ir norādīts diametrs, viss, kas jums jādara, ir dalīt ar 2, lai uzzinātu rādiusa vērtību (d = 2r).

   

   Solis 4. Izmēriet objektu, ja rādiuss nav norādīts

   Ņemiet vērā, ka precīzu caurules mērīšanu var būt diezgan grūti. Viens veids ir izmērīt caurules dibenu uz augšu ar lineālu vai mērlenti. Dariet visu iespējamo, lai izmērītu visplašāko cilindra platumu, un daliet ar 2, lai atrastu rādiusu.

   • Vēl viena iespēja caurules apkārtmēra (attāluma ap to) mērīšanai ir izmantot mērlenti vai auklas gabalu, ko varat atzīmēt un izmērīt ar lineālu. Pēc tam pievienojiet šo mērījumu formulai C (apkārtmērs) = 2πr. Sadaliet apkārtmēru ar 2π (6,28), un jūs saņemsiet rādiusu.
   • Piemēram, ja jūsu izmērītais apkārtmērs ir 8 collas, tad rādiuss ir 1,27 collas.
   • Ja jums tiešām ir nepieciešami precīzi mērījumi, varat izmantot abas metodes, lai pārliecinātos, ka jūsu mērījumi ir vienādi. Ja nē, vēlreiz pārbaudiet abus. Apkārtmēra metode parasti dod precīzākus rezultātus.

   

   Solis 5. Aprēķiniet pamatapļa laukumu

   Pievienojiet bāzes rādiusa vērtību r formulai². Tad reiziniet rādiusu ar sevi un vēlreiz reiziniet rezultātu ar. Kā piemērs:

   • Ja jūsu apļa rādiuss ir 4 collas, tad bāzes laukums ir A = 4².
   • 4² = 4 * 4 vai 16. 16 * (3.14) = 50,24 collas²
   • Ja rādiusa vietā ir norādīts pamatnes diametrs, atcerieties, ka d = 2r. Jums vienkārši jāsadala diametrs uz pusēm, lai atrastu rādiusu.

   

   6. solis. Atrodiet caurules augstumu

   Tas ir attālums starp abām apļa pusēm vai attālums no virsmas, uz kuras ir novietota caurule. Diagrammā meklējiet etiķeti, kas norāda caurules augstumu, vai izmēriet to ar lineālu vai mērlenti.

   

   Solis 7. Reiziniet pamatnes laukumu ar cilindra augstumu, lai atrastu tilpumu

   Vai arī varat izlaist vienu soli un ievadīt caurules izmēru vērtības formulā V = r²t. Mūsu piemērā ar cauruli, kuras rādiuss ir 4 collas un augstums 10 collas:

   • V = 4²10
   • 4² = 50, 24
   • 50.24 * 10 = 502, 4
   • V = 502, 4

   

   8. solis. Atcerieties atbildi norādīt kubikvienībās

   Mūsu parauga caurule tiek mērīta collās, tāpēc tās tilpums jāizsaka kubikcollas: V = 502,4 collas³. Ja mūsu cilindru mēra centimetros, tad tā tilpums tiks izteikts kubikcentimetros (cm³).

   4. metode no 6: Parastās piramīdas tilpuma aprēķināšana

   

   Solis 1. Izprotiet, kas ir parasta piramīda

   Piramīda ir trīsdimensiju forma, kuras pamats ir daudzstūris un sānu malas, kas savieno asi (piramīdas virsotne). Parastā piramīda ir piramīda, kuras pamats ir standarta daudzstūris, kas nozīmē, ka visas daudzstūra malas ir vienāda garuma un visi leņķi ir vienādi.

   • Mēs parasti domājam, ka piramīdai ir kvadrātveida pamatne ar malām, kas beidzas līdz punktam, bet patiesībā piramīdas pamatnei var būt 5, 6 vai pat 100 malas!
   • Piramīdu ar apļveida pamatni sauc par konusu, kas tiks apspriests nākamajā metodē.

   

   2. solis. Uzziniet parastās piramīdas tilpuma aprēķināšanas formulu

   Šī formula ir V = 1/3 bt, kur b ir piramīdas pamatnes laukums (daudzstūra forma zem tā) un t ir piramīdas augstums vai vertikālais attālums no pamatnes līdz virsotnei.

   Labās piramīdas tilpuma formula ir tāda pati, kur virsotne atrodas tieši virs pamatnes centra, un slīpai piramīdai, kur virsotne neatrodas vidū

   

   Solis 3. Aprēķiniet bāzes laukumu

   Šī formula būs atkarīga no piramīdas pamatnes malu skaita. Mūsu diagrammas piramīdā pamatne ir kvadrāts ar 6 collu garām malām. Atcerieties, ka kvadrāta laukuma formula ir A = s², kur s ir sānu garums. Tātad šīs piramīdas bāzes laukums ir (6 collas) ²vai 36 collas².

   • Trīsstūra laukuma formula ir šāda: A = 1/2 bt, kur b ir trīsstūra pamatne un t ir augstums.
   • Standarta daudzstūra laukumu var atrast, izmantojot formulu A = 1/2pa, kur A ir laukums, p ir formas perimetrs un a ir apotēma vai attālums no formas viduspunkta līdz viduspunktam vienā no tās pusēm. Šis ir sarežģītāks aprēķins, ko mēs šajā rakstā neaptversim, bet jūs varat apmeklēt rakstu Daudzstūra laukuma aprēķināšana, lai uzzinātu dažus labus norādījumus par tā izmantošanu. Vai arī varat vienkāršot šo procesu un tiešsaistē meklēt daudzstūra kalkulatoru.

   

   Solis 4. Atrodiet piramīdas augstumu

   Vairumā gadījumu tas tiks parādīts diagrammā. Mūsu piemērā piramīdas augstums ir 10 collas.

   

   Solis 5. Reiziniet piramīdas pamatnes laukumu ar tās augstumu un daliet ar 3, lai atrastu tilpumu

   Atcerieties, ka tilpuma formula ir V = 1/3 bt. Mūsu piramīdas piemērā, kuras laukums ir 36 un augstums 10, tilpums ir: 36 * 10 * 1/3 vai 120.

   Ja mēs izmantojam citu piramīdu, piemēram, tādu, kurai ir pentago formas pamatne ar platību 26 un augstumu 8, tilpums būs: 1/3 * 26 * 8 = 69, 33

   

   6. solis. Atcerieties atbildi norādīt kubikvienībās

   Mūsu parauga piramīdas mērījumi ir collās, tāpēc tilpums jāizsaka kubikcollas, 120. Ja mūsu piramīdu mēra metros, tilpums jāizsaka kubikmetros (m³).

   5. metode no 6: Konusa tilpuma aprēķināšana

   

   Solis 1. Uzziniet konusa formu

   Konuss ir trīsdimensiju forma ar apaļu pamatni un virsotni. Vēl viens veids, kā par to domāt, ir domāt par konusu kā piramīdu ar apļveida pamatni.

   Ja konusa virsotne atrodas tieši apļa centrā, tad konuss ir "īsts konuss". Ja virsotne nav tieši vidū, tad konusu sauc par "slīpu konusu". Par laimi, abu tilpuma aprēķināšanas formula ir vienāda

   

   Solis 2. Apgūstiet konusa tilpuma aprēķināšanas formulu

   Formula ir V = 1/3πr²t, kur r ir konusa apļveida pamatnes rādiuss, kur t ir augstums, un ir konstante pi, kas ir noapaļota līdz 3,14.

   r. daļa² no formulas attiecas uz apļveida konusa pamatnes laukumu. Tāpēc konusa tilpuma formula ir 1/3 bt, tāpat kā piramīdas tilpuma formula iepriekšējā metodē!

   

   Solis 3. Aprēķiniet konusa apļveida pamatnes laukumu

   Lai to izdarītu, jums jāzina rādiuss, kas jau būtu jāraksta jūsu diagrammā. Ja jums ir norādīts tikai diametrs, daliet šo vērtību ar 2, jo diametrs ir 2 reizes lielāks par rādiusu (d = 2r). Pēc tam ievadiet rādiusa vērtību formulā A = r² lai aprēķinātu platību.

   • Diagrammas piemērā konusa pamatnes rādiuss ir 3 collas. Kad mēs to pievienojam formulai, tad: A = 3².
   • 3² = 3 *3 vai 0, tātad A = 9π.
   • A = 28, 27 collas²

   

   Solis 4. Atrodiet konusa augstumu

   Tas ir vertikālais attālums starp konusa pamatni un tā virsotni. Mūsu piemērā konusa augstums ir 5 collas.

   

   Solis 5. Reiziniet konusa augstumu ar pamatnes laukumu

   Mūsu piemērā šī platība ir 28,27 collas² un augstums ir 5 collas, tātad bt = 28, 27 * 5 = 141, 35.

   

   6. solis. Tagad reiziniet rezultātu ar 1/3 (vai varat dalīt ar 3), lai atrastu konusa tilpumu

   Iepriekšējā solī mēs aprēķinājām cilindra tilpumu, kas veidotos, ja konusa sienas izstieptos taisni citā aplī, nevis sašaurinātos līdz punktam. Sadalot ar 3, jūs iegūsit paša konusa tilpumu.

   • Mūsu piemērā 141, 35 * 1/3 = 47, 12, tas ir konusa tilpums.
   • Alternatīvi, 1/3π3²5 = 47, 12

   

   7. solis. Atcerieties atbildi norādīt kubikvienībās

   Mūsu konuss tiek mērīts collās, tāpēc tā tilpums jāizsaka kubikcollas: 47,12 collas³.

   6. metode no 6: lodītes tilpuma aprēķināšana

   

   Solis 1. Uzziniet formu

   Sfēra ir perfekti sfērisks trīsdimensiju objekts, kur katrs tās virsmas punkts atrodas vienādā attālumā no centra. Citiem vārdiem sakot, šeit ir iekļauti sfēriski objekti.

   

   2. solis. Uzziniet sfēras tilpuma formulu

   Šīs sfēras tilpuma formula ir V = 4/3πr³ (lasīt: "četras trešdaļas pi r-kuba"), kur r ir sfēras rādiuss un ir tapas konstante (3, 14).

   

   Solis 3. Atrodiet sfēras rādiusu

   Ja rādiuss ir norādīts, tad r atrašana ir vienkārša lieta. Ja ir norādīts diametrs, jums ir jāsadala ar 2, lai atrastu rādiusa vērtību. Piemēram, mūsu diagrammas sfēras rādiuss ir 3 collas.

   

   Solis 4. Izmēra bumbu, ja rādiuss nav zināms

   Ja jums ir nepieciešams izmērīt sfērisku priekšmetu (piemēram, tenisa bumbiņu), lai atrastu tā rādiusu, vispirms paņemiet pietiekami lielu virkni, lai to aptītu. Pēc tam apvelciet apkārt objektam visplašākajā vietā un atzīmējiet, kur virkne atkal pieskaras galam. Pēc tam izmēriet virkni ar lineālu, lai atrastu tās ārējo apkārtmēru. Sadaliet šo vērtību ar 2π vai 6, 28, un iegūstat sfēras rādiusu.

   • Piemēram, ja jūs izmērāt sfēru un atrodat 18 collu apkārtmēra punktu, daliet ar 6,28 un iegūstiet 2,87 collu rādiusu.
   • Sfērisko objektu mērīšana var būt nedaudz sarežģīta, tāpēc noteikti izmēriet 3 dažādus laikus un aprēķiniet vidējo (saskaitiet visus trīs mērījumus, pēc tam daliet ar 3), lai pārliecinātos, ka iegūstat visprecīzāko vērtību.
   • Piemēram, ja jūsu ārējā apkārtmēra mērījumi ir 18 collas, 17,75 collas un 18,2 collas, pievienojiet tos visus kopā (18 + 17,5 + 18, 2 = 53,95) un sadaliet rezultātu ar 3 (53,95/3 = 17, 98). Izmantojiet šo vidējo apjoma aprēķinos.

   

   Solis 5. Kubiskais rādiuss, lai atrastu r³.

   Tas nozīmē, ka jums tas jāreizina ar pašu skaitli 3 reizes, tāpēc r³ = r * r * r. Mūsu piemērā r = 3, tātad r³ = 3 * 3 * 3 vai 27.

   

   6. solis. Tagad reiziniet savu atbildi ar 4/3

   Jūs varat izmantot kalkulatoru vai arī aprēķināt to manuāli un vienkāršot daļu. Mūsu piemērā 27 reizinot ar 4/3 = 108/3 vai 36.

   

   Solis 7. Reiziniet rezultātu ar, lai atrastu sfēras tilpumu

   Skaļuma aprēķināšanas pēdējais solis ir rezultātu reizināt ar. Noapaļošana līdz diviem cipariem parasti ir pietiekama lielākajai daļai matemātikas uzdevumu (ja vien skolotājs nav teicis citādi), tāpēc reiziniet ar 3, 14, un jūs atradīsit atbildi.

   Mūsu piemērā 36 * 3, 14 = 113, 09

   

   8. solis. Izsakiet savu atbildi kubikvienībās

   Mūsu piemērā sfēras rādiuss tiek mērīts collās, tāpēc mūsu patiesā atbilde ir V = 113,09 kubikcollas (113,09 collas).³).