Kā vienkāršot matemātiskos vienādojumus: 13 soļi

2024 Autors: Jason Gerald | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-15 08:19

Matemātikas studentiem bieži tiek lūgts pierakstīt savas atbildes vienkāršākajā formā - citiem vārdiem sakot, pierakstīt atbildes pēc iespējas elegantāk. Lai gan gari, stīvi un īsi, kā arī eleganti vienādojumi tehniski ir viens un tas pats, bieži vien matemātikas problēma netiek uzskatīta par pabeigtu, ja galīgā atbilde nav samazināta līdz vienkāršākajai formai. Arī atbilde vienkāršākajā formā gandrīz vienmēr ir vieglākais vienādojums, ar kuru strādāt. Šī iemesla dēļ matemātiķiem ir svarīga prasme mācīties vienkāršot vienādojumus.

Solis

1. metode no 2: operāciju secības izmantošana

1. solis. Ziniet darbību secību

Vienkāršojot matemātiskās izteiksmes, jūs nevarat vienkārši strādāt no kreisās puses uz labo, reizinot, saskaitot, atņemot un tā tālāk secībā no kreisās uz labo. Dažām matemātiskām darbībām ir jābūt augstākām par citām un jāveic vispirms. Patiesībā, nepareizas darbību secības izmantošana var sniegt nepareizu atbildi. Darbību secība ir šāda: iekavās esošā daļa, eksponents, reizināšana, dalīšana, saskaitīšana un, visbeidzot, atņemšana. Akronīms, ko varat atcerēties, ir tāpēc, ka māte nav laba, ļauna un nabadzīga.

Ņemiet vērā, ka, lai gan pamatzināšanas par darbību secību var vienkāršot visvienkāršākos vienādojumus, ir vajadzīgas īpašas metodes, lai vienkāršotu daudzus mainīgos vienādojumus, ieskaitot gandrīz visus polinomus. Lai iegūtu papildinformāciju, skatiet šo otro metodi

2. solis. Sāciet, aizpildot visas iekavās esošās sadaļas

Matemātikā iekavas norāda, ka iekšējā daļa jāaprēķina atsevišķi no izteiksmes, kas atrodas ārpus iekavām. Neatkarīgi no tā, kādas darbības ir iekavās, mēģiniet vienkāršot vienādojumu, vispirms aizpildiet iekavās esošo daļu. Piemēram, iekavās jums ir jāreizina pirms saskaitīšanas, atņemšanas utt.

• Piemēram, mēģināsim vienkāršot vienādojumu 2x + 4 (5 + 2) + 3² - (3 + 4/2). Šajā vienādojumā vispirms ir jāatrisina iekavās esošā daļa, proti, 5 + 2 un 3 + 4/2. 5 + 2 =

  7. solis.. 3 + 4/2 = 3 + 2

  5. solis

  Daļa otrajā kronšteinā ir vienkāršota līdz 5, jo saskaņā ar darbību secību mēs iekavās vispirms sadalām 4/2. Ja mēs strādājam tikai no kreisās puses uz labo, vispirms pievienojam 3 un 4, pēc tam dalām ar 2, sniedzot nepareizu atbildi 7/2

• Piezīme - ja iekavās ir vairākas iekavas, aizpildiet sadaļu iekšējā iekavā, tad otro iekšējo utt.

Solis 3. Atrisiniet eksponentu

Pēc iekavu aizpildīšanas atrisiniet vienādojuma eksponentu. To ir viegli atcerēties, jo eksponentos bāzes skaitlis un jaudas jauda atrodas blakus. Atrodiet atbildi uz katru eksponenta daļu, pēc tam pievienojiet savu atbildi vienādojumam, lai aizstātu eksponenta daļu.

Pēc daļas iekavās aizpildīšanas mūsu vienādojuma piemērs tagad kļūst 2x + 4 (7) + 3² - 5. Mūsu piemērā vienīgais eksponenciālais ir 3², kas ir vienāds ar 9. Pievienojiet šo rezultātu vienādojumam, lai aizstātu 3² kā rezultātā 2x + 4 (7) + 9 - 5.

Solis 4. Atrisiniet reizināšanas uzdevumu savā vienādojumā

Pēc tam veiciet visu reizināšanu, kas nepieciešama jūsu vienādojumā. Atcerieties, ka reizināšanu var rakstīt vairākos veidos. × punkts vai zvaigznītes simbols ir veids, kā parādīt reizināšanu. Tomēr skaitlis blakus iekavām vai mainīgajam (piemēram, 4 (x)) ir arī reizinājums.

• Mūsu uzdevumā reizināšanai ir divas daļas: 2x (2x ir 2 × x) un 4 (7). Mēs nezinām x vērtību, tāpēc vienkārši atstājam to pie 2x. 4 (7) = 4 × 7 =

  28. darbība.. Mēs varam pārrakstīt savu vienādojumu uz 2x + 28 + 9 - 5.

5. solis. Pārejiet uz sadalīšanu

Kad vienādojumos meklējat dalīšanas problēmas, ņemiet vērā, ka dalīšanu var rakstīt vairākos veidos, piemēram, reizināšanu. Viens no tiem ir simbols, taču paturiet prātā, ka slīpsvītras un svītras, piemēram, daļās (piemēram, 3/4), norāda arī uz dalījumu.

Tā kā mēs jau esam sadalījuši (4/2), kad pabeidzām detaļas iekavās. Mūsu piemērā jau nav sadalīšanas problēmu, tāpēc mēs izlaidīsim šo darbību. Tas parāda svarīgu punktu - vienkāršojot izteiksmi, jums nav jāveic visas darbības, tikai darbības, kas ietvertas jūsu uzdevumā

6. solis. Tālāk pievienojiet vienādojumā iekļauto

Jūs varat strādāt no kreisās puses uz labo, taču vispirms ir vieglāk saskaitīt viegli pievienojamos skaitļus. Piemēram, uzdevumā 49 + 29 + 51 + 71 ir vieglāk pievienot 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 un 100 + 100 = 200, nekā 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 un 129 + 71 = 200.

Mūsu vienādojuma piemērs ir daļēji vienkāršots līdz 2x + 28 + 9 - 5. Tagad mums ir jāsaskaita skaitļi, kurus mēs varam saskaitīt - aplūkosim katru pievienošanas problēmu no kreisās uz labo pusi. Mēs nevaram pievienot 2x un 28, jo mēs nezinām x vērtību, tāpēc mēs to vienkārši izlaidīsim. 28 + 9 = 37, var pārrakstīt kā 2x + 37 - 5.

7. solis. Pēdējais darbību secības posms ir atņemšana

Turpiniet savu problēmu, atrisinot atlikušās atņemšanas problēmas. Jūs, iespējams, varēsit iedalīt atņemšanu kā negatīvu skaitļu pievienošanu šajā solī vai izmantot tādas pašas darbības kā parastajai saskaitīšanas problēmai - jūsu izvēle neietekmēs jūsu atbildi.

• Mūsu uzdevumā 2x + 37 - 5 ir tikai viena atņemšanas problēma. 37 - 5 =

  32. darbība.

8. solis. Pārbaudiet savu vienādojumu

Pēc atrisināšanas, izmantojot darbību secību, jūsu vienādojums ir jāvienkāršo tā vienkāršākajā formā. Tomēr, ja jūsu vienādojumā ir viens vai vairāki mainīgie, saprotiet, ka pie jūsu mainīgajiem nav jāstrādā. Lai vienkāršotu mainīgo, jums ir jāatrod mainīgā vērtība vai jāizmanto īpašas metodes, lai vienkāršotu izteiksmi (skatiet tālāk norādīto soli).

Mūsu galīgā atbilde ir 2x + 32. Mēs nevaram atrisināt šo galīgo papildinājumu, ja nezinām x vērtību, bet, ja mēs zinātu tā vērtību, šo vienādojumu būtu daudz vieglāk atrisināt nekā mūsu garo sākotnējo vienādojumu

2. metode no 2: sarežģītu vienādojumu vienkāršošana

1. solis. Pievienojiet daļas, kurām ir vienāds mainīgais

Atrisinot mainīgo vienādojumus, atcerieties, ka daļas, kurām ir vienāds mainīgais un eksponents (vai tas pats mainīgais), var pievienot un atņemt kā parastos skaitļus. Šai daļai jābūt vienādam mainīgajam un eksponentam. Piemēram, var pievienot 7x un 5x, bet 7x un 5x² nevar saskaitīt.

• Šis noteikums attiecas arī uz dažiem mainīgajiem. Piemēram, 2xy² var summēt ar -3xy², bet to nevar summēt ar -3x²y vai -3 g².
• Skatiet vienādojumu x² + 3x + 6-8x. Šajā vienādojumā mēs varam pievienot 3x un -8x, jo tiem ir vienāds mainīgais un eksponents. Vienkāršais vienādojums kļūst par x² - 5x + 6.

2. solis. Vienkāršojiet daļskaitļus, dalot vai izsvītrojot faktorus

Frakcijas, kuru skaitītājā un saucējā ir tikai skaitļi (un nav mainīgo), var vienkāršot vairākos veidos. Pirmais un, iespējams, vienkāršākais ir domāt par daļu kā dalīšanas problēmu un sadalīt saucēju ar skaitītāju. Turklāt jebkuru reizinātāju, kas parādās skaitītājā un saucējā, var izsvītrot, jo, sadalot abus faktorus, tiek iegūts skaitlis 1.

Piemēram, apskatiet frakciju 36/60. Ja mums ir kalkulators, mēs varam to sadalīt, lai iegūtu atbildi 0, 6. Tomēr, ja mums nav kalkulatora, mēs joprojām varam to vienkāršot, izsvītrojot tos pašus faktorus. Vēl viens veids, kā iedomāties 36/60, ir (6 × 6)/(6 × 10). Šo frakciju var uzrakstīt kā 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, tāpēc mūsu daļa faktiski ir 1 × 6/10 = 6/10. Tomēr mēs vēl neesam pabeiguši - gan 6, gan 10 ir vienāds koeficients, kas ir 2. Atkārtojot iepriekš minēto metodi, rezultāts kļūst 3/5.

3. solis. Mainīgā frakcijā izsvītrojiet visus mainīgā faktorus

Mainīgiem vienādojumiem daļskaitlī ir unikāls vienkāršošanas veids. Tāpat kā parastās frakcijas, mainīgās frakcijas ļauj novērst faktorus, kas ir kopīgi gan skaitītājam, gan saucējam. Tomēr mainīgās daļās šie faktori var būt faktiskā mainīgā skaitļi un vienādojumi.

• Teiksim vienādojumu (3x² + 3x)/(-3x² + 15x). Šo frakciju var uzrakstīt kā (x + 1) (3x)/(3x) (5 - x), 3x parādās gan skaitītājā, gan saucējā. Izslēdzot šos faktorus no vienādojuma, rezultāts kļūst (x + 1)/(5 - x). Tāds pats kā izteiksmē (2x² + 4x + 6)/2, tā kā katra daļa ir dalāma ar 2, mēs varam uzrakstīt vienādojumu kā (2 (x² + 2x + 3))/2 un pēc tam vienkāršojiet līdz x² + 2x + 3.
• Ņemiet vērā, ka visas sadaļas nevar izsvītrot - varat izsvītrot tikai reizināšanas koeficientus, kas parādās skaitītājā un saucējā. Piemēram, izteiksmē (x (x + 2))/x x var izsvītrot gan no skaitītāja, gan no saucēja, lai tas kļūtu par (x + 2)/1 = (x + 2). Tomēr (x + 2)/x nevar izsvītrot līdz 2/1 = 2.

Solis 4. Reiziniet iekavās esošo daļu ar konstanti

Reizinot daļu, kurai iekavās ir mainīgais, ar konstanti, reizēm katru daļu iekavās reizinot ar konstanti, var iegūt vienkāršāku vienādojumu. Tas attiecas uz konstantēm, kas sastāv tikai no skaitļiem, un konstantēm, kurām ir mainīgie.

• Piemēram, vienādojums 3 (x² + 8) var vienkāršot līdz 3x² + 24, turpretī 3x (x² + 8) var vienkāršot līdz 3x³ + 24x.
• Ņemiet vērā, ka dažos gadījumos, piemēram, mainīgās frakcijas, konstantes ap iekavām var pārsvītrot, lai tās nebūtu jāreizina ar iekavās esošo daļu. Daļās (3 (x² + 8))/3x, piemēram, koeficients 3 parādās gan skaitītājā, gan saucējā, tāpēc mēs varam to izsvītrot un vienkāršot izteiksmi uz (x² + 8)/x. Šī izteiksme ir vienkāršāka un vieglāk lietojama nekā (3x³ + 24x)/3x, kādu rezultātu mēs iegūsim, ja to reizināsim.

Solis 5. Vienkāršojiet, izmantojot faktoringu

Faktorings ir metode, ko var izmantot, lai vienkāršotu dažas mainīgas izteiksmes, ieskaitot polinomus. Padomājiet par faktoringu kā pretējo reizināšanai ar iekavās esošo daļu iepriekšējā darbībā - dažreiz izteiksmi var uzskatīt par divām daļām, kuras reizina viena ar otru, nevis par vienotu izteiksmi. Tas jo īpaši attiecas uz gadījumiem, kad vienādojuma faktorēšana ļauj izsvītrot vienu no tā daļām (kā daļās). Dažos gadījumos (bieži vien ar kvadrātvienādojumiem) faktorings var pat ļaut jums atrast vienādojuma risinājumu.

• Atkal pieņemsim izteiksmi x² - 5x + 6. Šo izteiksmi var attiecināt uz (x - 3) (x - 2). Tātad, ja x² - 5x + 6 ir dotā vienādojuma skaitītājs, kur saucējam ir viens no šiem faktoriem, piemēram, izteiksmē (x² - 5x + 6)/(2 (x - 2)), mēs varētu vēlēties to uzrakstīt koeficienta formā, lai varētu svītrot koeficientu ar saucēju. Citiem vārdiem sakot, (x - 3) (x - 2)/(2 (x - 2)) daļā (x - 2) var izsvītrot kā (x - 3)/2.

• Kā minēts iepriekš, vēl viens iemesls, kāpēc jūs varētu vēlēties faktorizēt savus vienādojumus, ir tas, ka faktorings var sniegt atbildes uz dažiem vienādojumiem, īpaši, ja tie ir uzrakstīti kā vienādi ar 0. Piemēram, vienādojums x² - 5x + 6 = 0. Faktorings dod (x - 3) (x - 2) = 0. Tā kā jebkurš skaitlis, kas reizināts ar nulli, ir vienāds ar nulli, mēs zinām, ka, ja kāda iekavu daļa ir vienāda ar nulli, viss vienādojums pa kreisi no vienādības zīme, arī ir nulle. Tātad tā

  3. solis. da

  2. solis. ir divas atbildes uz vienādojumu.