Kā vienkāršot sarežģītas frakcijas: 9 soļi (ar attēliem)

2024 Autors: Jason Gerald | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-15 08:19

Sarežģīta frakcija ir daļa, kurā skaitītājs, saucējs vai abi satur arī daļu. Šī iemesla dēļ sarežģītas frakcijas dažreiz sauc par "sakrautām frakcijām". Sarežģītu frakciju vienkāršošana var būt vienkārša vai sarežģīta atkarībā no tā, cik skaitļu ir skaitītājā un saucējā, vai viens no skaitļiem ir mainīgs, vai mainīgā skaitļa sarežģītība. Lai sāktu, skatiet 1. darbību.

Solis

1. metode no 2: sarežģītu frakciju vienkāršošana ar apgriezto reizināšanu

1. solis. Ja nepieciešams, vienkāršojiet skaitītāju un saucēju līdz vienai daļai

Sarežģītas frakcijas ne vienmēr ir grūti atrisināt. Faktiski sarežģītas frakcijas, kuru skaitītājs un saucējs satur vienu daļu, parasti ir diezgan viegli atrisināmas. Tātad, ja sarežģītas frakcijas skaitītājs vai saucējs (vai abi) satur vairākas frakcijas vai daļiņas un veselu skaitli, vienkāršojiet to, lai iegūtu vienu daļu gan skaitītājā, gan saucējā. Atrodiet vismazāk kopējo daudzkārtni (LCM) no divām vai vairākām frakcijām.

• Piemēram, pieņemsim, ka vēlamies vienkāršot sarežģītu daļu (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10). Pirmkārt, mēs vienkāršosim gan sarežģītas frakcijas skaitītāju, gan saucēju vienā frakcijā.

  • Lai vienkāršotu skaitītāju, izmantojiet LCM 15, kas iegūts, reizinot 3/5 ar un 3/3. Skaitītājs būs 9/15 + 2/15, kas ir vienāds ar 11/15.
  • Lai vienkāršotu saucēju, mēs izmantosim LCM rezultātu 70, ko iegūst, reizinot 5/7 ar 10/10 un 3/10 ar 7/7. Saucējs būs 50/70 - 21/70, kas ir vienāds ar 29/70.
  • Tādējādi jaunā kompleksā daļa ir (11/15)/(29/70).

2. solis. Apgrieziet saucēju otrādi

Pēc definīcijas viena skaitļa dalīšana ar otru ir tāda pati kā pirmā skaitļa reizināšana ar otrā skaitļa reciproku. Tagad, kad mums ir sarežģīta frakcija ar vienu frakciju gan skaitītājā, gan saucējā, mēs izmantosim šo dalījumu, lai vienkāršotu sarežģīto daļu. Vispirms atrodiet frakcijas savstarpējo vērtību kompleksās frakcijas apakšā. Dariet to, "apgriežot" frakciju - ievietojot skaitītāju saucēja vietā un otrādi.

• Mūsu piemērā frakcija kompleksās frakcijas saucējā (11/15)/(29/70) ir 29/70. Lai atrastu apgriezto, mēs to "apgriežam", lai mēs iegūtu 70/29.

  Ņemiet vērā: ja sarežģītas frakcijas saucējā ir vesels skaitlis, mēs to varam uzskatīt par daļskaitli un atrast tā savstarpēju. Piemēram, ja sarežģītā daļa ir (11/15)/(29), mēs varam izveidot saucēju 29/1, kas nozīmē, ka savstarpējā vērtība ir 1/29.

Solis 3. Reiziniet sarežģītās daļas skaitītāju ar saucēja reciproku

Tagad, kad esam ieguvuši kompleksās frakcijas saucēja reciproku, reiziniet to ar skaitītāju, lai iegūtu vienu vienkāršu daļu. Atcerieties, ka, lai reizinātu divas frakcijas, mēs reizinām tikai reizināšanu - jaunās frakcijas skaitītājs ir divu veco frakciju skaitītāja numurs, kā arī saucējs.

Mūsu piemērā mēs reizināsim 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 un 15 × 29 = 435. Tātad jaunā vienkāršā daļa ir 770/435.

4. solis. Vienkāršojiet jauno frakciju, atrodot lielāko kopējo faktoru

Mums jau ir viena vienkārša daļiņa, tāpēc atliek vien izdomāt vienkāršāko skaitli. Atrodiet skaitītāja un saucēja lielāko kopējo faktoru (GCF) un sadaliet abus ar šo skaitli, lai to vienkāršotu.

Viens no kopējiem faktoriem 770 un 435 ir 5. Tātad, dalot daļskaitītāju un saucēju ar 5, mēs iegūstam 154/87. 154 un 87 nav kopīgu faktoru, tāpēc tā ir galīgā atbilde!

2. metode no 2: sarežģītu frakciju, kas satur mainīgus skaitļus, vienkāršošana

1. solis. Ja iespējams, izmantojiet apgriezto reizināšanas metodi

Lai būtu skaidrs, gandrīz visas sarežģītās frakcijas var vienkāršot, atņemot skaitītāju un saucēju ar vienu daļu un reizinot skaitītāju ar saucēja reciproku. Ir iekļautas arī sarežģītas frakcijas, kas satur mainīgos, lai gan, jo sarežģītāka ir mainīgo izteiksme sarežģītās frakcijās, jo grūtāk un laikietilpīgāk būs izmantot reverso reizināšanu. “Vieglām” sarežģītām frakcijām, kas satur mainīgos, apgrieztā reizināšana ir laba izvēle, taču sarežģītas frakcijas ar vairākiem mainīgo skaitļiem skaitītājā un saucējā var būt vieglāk vienkāršot, izmantojot tālāk aprakstīto alternatīvo veidu.

• Piemēram, (1/x)/(x/6) ir viegli vienkāršot ar apgriezto reizināšanu. 1/x × 6/x = 6/x². Šeit nav jāizmanto alternatīvas metodes.
• Tomēr (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5)))) ir grūtāk vienkāršot ar apgriezto reizināšanu. Sarežģītu frakciju skaitītāja un saucēja samazināšana līdz atsevišķām daļām, reizināšana apgriezti un rezultāta samazināšana līdz vienkāršākajiem skaitļiem var būt sarežģīts process. Šajā gadījumā alternatīvā metode var būt vienkāršāka.

2. solis. Ja reversā reizināšana nav praktiska, sāciet, atrodot frakcionētā skaitļa LCM sarežģītajā frakcijā

Pirmais solis ir atrast visu daļskaitļu LCM sarežģītā frakcijā - gan skaitītājā, gan saucējā. Parasti, ja vienā vai vairākos daļskaitļos saucējā ir skaitlis, LCM ir skaitlis saucējā.

To ir vieglāk saprast, izmantojot piemēru. Mēģināsim vienkāršot iepriekš minētās sarežģītās frakcijas ((((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))). Daļēji skaitļi šajā sarežģītajā frakcijā ir (1)/(x+3) un (1)/(x-5). Abu frakciju LCM ir skaitlis saucējā: (x+3) (x-5).

Solis 3. Reiziniet kompleksās frakcijas skaitītāju ar jaunatrasto LCM

Tālāk mums jāreizina skaitlis kompleksā frakcijā ar daļskaitļa LCM. Citiem vārdiem sakot, mēs reizināsim visas sarežģītās daļas ar (KPK)/(KPK). Mēs to varam darīt neatkarīgi, jo (KPK)/(KPK) ir vienāds ar 1. Pirmkārt, reiziniet pašus skaitītājus.

• Mūsu piemērā mēs reizināsim sarežģīto daļu ((((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), ti, ((x+ 3) (x-5))/((x+ 3) (x-5)). Mums jāreizina, izmantojot kompleksās daļas skaitītāju un saucēju, katru skaitli reizinot ar (x + 3) (x-5).

  • Vispirms reizināsim skaitītājus: ((((1)/(x+3))+x - 10) × (x+3) (x -5)

    • = ((((x+3) (x-5)/(x+3))+x ((x+3) (x-5))-10 ((x+3) (x-5))
    • = (x-5) + (x (x.)² - 2x - 15)) - (10 (x² - 2x - 15))
    • = (x-5) + (x³ - 2x² - 15x) - (10x.)² - 20x - 150)
    • = (x-5) + x³ - 12 reizes² + 5x + 150
    • = x³ - 12 reizes² +6x +145

Solis 4. Reiziniet sarežģītās frakcijas saucēju ar LCM, kā to darītu ar skaitītāju

Turpiniet reizināt sarežģīto daļu ar atrasto LCM, pārejot pie saucēja. Reiziniet visu, reiziniet katru skaitli ar LCM.

• Mūsu sarežģītās frakcijas saucējs ((((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5)))) ir x +4 +((1) // (x-5)). Mēs to reizināsim ar atrasto LCM, (x+3) (x-5).

  • (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x +3) (x -5)
  • = x ((x+3) (x-5))+4 ((x+3) (x-5))+(1/(x-5)) (x+3) (x-5).
  • = x (x² - 2x - 15) + 4 (x² - 2x- 15) + ((x + 3) (x-5))/(x-5)
  • = x³ - 2x² - 15x + 4x² - 8x - 60 + (x + 3)
  • = x³ + 2x² - 23x - 60 + (x + 3)
  • = x³ + 2x² - 22x - 57

5. solis. Izveidojiet jaunu un vienkāršotu daļu no jaunatrastā skaitītāja un saucēja

Pēc frakcijas reizināšanas ar (KPK)/(KPK) un vienkāršošanas, apvienojot skaitļus, rezultāts ir vienkārša daļa, kurā nav daļskaitļa. Ņemiet vērā, ka, reizinot ar LCM sākotnējās kompleksās frakcijas daļskaitli, šīs daļas saucējs tiks izsmelts un atstājiet mainīgo skaitli un veselu skaitli atbildes skaitītājā un saucējā bez daļskaitļiem.

Izmantojot skaitītāju un saucēju iepriekš, mēs varam izveidot daļu, kas ir tāda pati kā sākotnējā kompleksā daļa, bet nesatur daļskaitli. Iegūtais skaitītājs ir x³ - 12 reizes² + 6x + 145 un saucējs, ko mēs saņēmām, bija x³ + 2x² - 22x - 57, tāpēc jaunā frakcija kļūst (x³ - 12 reizes² + 6x + 145)/(x³ + 2x² - 22x - 57)

Padomi

• Parādiet katru darba soli. Daļas var būt mulsinošas, ja soļi tiek skaitīti pārāk ātri vai mēģina to darīt no galvas.
• Atrodiet sarežģītu frakciju piemērus internetā vai grāmatās. Izpildiet katru soli, līdz to var apgūt.