3 veidi, kā faktorēt algebriskos vienādojumus

2024 Autors: Jason Gerald | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-15 08:19

Matemātikā, faktorings ir veids, kā atrast skaitļus vai izteiksmes, kas reizinot radīs noteiktu skaitli vai vienādojumu. Faktorings ir noderīga prasme, lai iemācītos atrisināt vienkāršas algebra problēmas; spēja labi faktorēt kļūst svarīga, strādājot ar kvadrātvienādojumiem un citiem polinomu veidiem. Faktorizāciju var izmantot, lai vienkāršotu algebriskās izteiksmes, lai atvieglotu to risinājumus. Faktorings var pat dot jums iespēju novērst noteiktas iespējamās atbildes daudz ātrāk, nekā tās atrisināt manuāli.

Solis

1. metode no 3: faktoru skaitīšana un vienkāršas algebriskās izteiksmes

1. solis. Izprotiet faktoringa definīciju, ja to piemēro atsevišķiem skaitļiem

Faktorings ir vienkāršs jēdziens, taču praksē tas var būt sarežģīts, ja to piemēro sarežģītiem vienādojumiem. Tāpēc visvieglāk ir tuvināties faktoringa jēdzienam, sākot ar vienkāršiem skaitļiem, pēc tam pārejot pie vienkāršiem vienādojumiem, pirms beidzot pāriet pie sarežģītākām lietojumprogrammām. Skaitļa faktori ir skaitļi, kurus reizinot iegūst skaitli. Piemēram, koeficienti 12 ir 1, 12, 2, 6, 3 un 4, jo 1 × 12, 2 × 6 un 3 × 4 ir vienādi ar 12.

• Vēl viens veids, kā to domāt, ir tas, ka skaitļa faktori ir skaitļi, kas var vienmērīgi sadalīties skaitlī.

• Vai jūs varat atrast visus skaitļa 60 faktorus? Mēs izmantojam skaitli 60 dažādiem mērķiem (minūtes stundā, sekundes minūtē utt.), Jo to var dalīt ar diezgan daudziem citiem skaitļiem.

  Faktori 60 ir 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 un 60

2. Izprotiet, ka var ņemt vērā arī mainīgās izteiksmes

Tāpat kā var skaitīt pašus skaitļus, var ņemt vērā arī mainīgos ar skaitļu koeficientiem. Lai to izdarītu, vienkārši atrodiet mainīgo koeficientu faktorus. Zinot, kā faktorēt mainīgo, ir ļoti noderīgi vienkāršot algebriskos vienādojumus, kuros iesaistīts šis mainīgais.

• Piemēram, mainīgo 12x var uzrakstīt kā koeficientu 12 un x reizinājumu. Mēs varam rakstīt 12x kā 3 (4x), 2 (6x) utt., Izmantojot to, kurš koeficients 12 vislabāk atbilst mūsu mērķiem.

  Mēs varam pat reizināt 12x vairākas reizes. Citiem vārdiem sakot, mums nav jāapstājas pie 3 (4x) vai 2 (6x) - mēs varam 4x un 6x koeficientus iegūt 3 (2 (2x) un 2 (3 (2x)). Protams, šie divi izteicieni ir līdzvērtīgi

Solis 3. Pielietojiet reizināšanas izplatīšanas īpašību koeficienta algebriskajiem vienādojumiem

Izmantojot savas zināšanas par to, kā faktorēt gan atsevišķus skaitļus, gan mainīgos ar koeficientiem, jūs varat vienkāršot vienkāršus algebriskos vienādojumus, atrodot faktorus, kas skaitļiem un mainīgajiem ir kopīgi algebriskos vienādojumos. Parasti, lai vienkāršotu vienādojumu, mēs cenšamies atrast lielāko kopējo faktoru. Šis vienkāršošanas process ir iespējams, pateicoties reizināšanas izplatīšanas īpašībai, kas attiecas uz jebkuru skaitli a, b un c. a (b + c) = ab + ac.

• Izmēģināsim jautājuma piemēru. Lai faktorizētu algebrisko vienādojumu 12x + 6, vispirms mēģināsim atrast lielāko kopējo koeficientu 12x un 6. 6 ir lielākais skaitlis, kas var vienmērīgi sadalīt 12x un 6, tāpēc vienādojumu varam vienkāršot līdz 6 (2x + 1).
• Šis process attiecas arī uz vienādojumiem ar negatīviem skaitļiem un daļām. Piemēram, x/2 + 4, var vienkāršot līdz 1/2 (x + 8), un -7x + -21 var saskaitīt līdz -7 (x + 3).

2. metode no 3: kvadrātvienādojumu faktorēšana

1. solis. Pārliecinieties, vai vienādojums ir kvadrātveida formā (ax² + bx + c = 0).

Kvadrātvienādojumiem ir forma cirvis² + bx + c = 0, kur a, b un c ir skaitļu konstantes un nav vienādas ar 0 (ņemiet vērā, ka a var būt 1 vai -1). Ja jums ir vienādojums ar vienu mainīgo (x), kuram ir viens termins x uz divu vai vairāku pakāpju lielumu, jūs parasti pārvietojat šos vienādojuma vienumus, izmantojot vienkāršas algebriskās darbības, lai iegūtu 0 abās vienādības zīmes un cirvja pusēs²utt. citā pusē.

• Piemēram, iedomāsimies algebrisko vienādojumu. 5x² + 7x - 9 = 4x² + x - 18 var vienkāršot līdz x² + 6x + 9 = 0, kas ir kvadrātveida forma.
• Vienādojumi ar lielāku x jaudu, piemēram, x³, x⁴utt. nav kvadrātvienādojumi. Šie vienādojumi ir kubikvienādojumi līdz ceturtajai pakāpei un tā tālāk, ja vien vienādojumu nevar vienkāršot, lai noņemtu šos x nosacījumus, kuru jauda ir lielāka par 2.

2. solis. Kvadrātvienādojumā, kur a = 1, ņem vērā (x+d) (x+e), kur d × e = c un d+e = b

Ja jūsu kvadrātiskais vienādojums ir formā x² + bx + c = 0 (citiem vārdiem sakot, ja termina x koeficients² = 1), ir iespējams (bet netiek garantēts), ka vienādojuma koeficientam var izmantot diezgan vienkāršu stenogrammu. Atrodiet divus skaitļus, kas reizinot dod c un saskaita, lai ražotu b. Kad esat meklējis šos divus skaitļus d un e, ievietojiet tos šādā izteiksmē: (x+d) (x+e). Šie divi termini, reizinot, dod jums kvadrātvienādojumu - citiem vārdiem sakot, tie ir jūsu kvadrātvienādojuma faktori.

• Piemēram, iedomāsimies kvadrātvienādojumu x² + 5x + 6 = 0. 3 un 2 reizina, lai iegūtu 6, kā arī pievieno, lai iegūtu 5, tāpēc mēs varam vienkāršot šo vienādojumu līdz (x + 3) (x + 2).

• Neliela atšķirība šajā pamata stenogrāfijas metodē ir atšķirībās pašās līdzībās:

  • Ja kvadrātvienādojums ir formā x²-bx+c, jūsu atbilde ir šāda: (x - _) (x - _).
  • Ja vienādojums ir formā x²+ bx + c, jūsu atbilde izskatās šādi: (x + _) (x + _).
  • Ja vienādojums ir formā x²-bx -c, jūsu atbilde ir formā (x + _) (x -_).
• Piezīme: tukšie skaitļi var būt daļskaitļi vai aiz komata. Piemēram, vienādojums x² + (21/2) x + 5 = 0 tiek ņemts vērā (x + 10) (x + 1/2).

3. solis. Ja iespējams, ņemiet vērā pārbaudes

Ticiet vai nē, bet nekomplicētiem kvadrātvienādojumiem viena no atļautajām faktoringa metodēm ir pārbaudīt problēmu, pēc tam apsvērt iespējamās atbildes, līdz atrodat pareizo atbildi. Šī metode ir pazīstama arī kā faktorings, veicot pārbaudi. Ja vienādojums ir cirvja formā²+bx +c un a> 1, jūsu faktora atbilde ir šādā formā (dx +/- _) (ex +/- _), kur d un e ir skaitļi, kas nav nulle, un, reizinot, iegūst a. Ne d, ne e (vai abi) nevar būt 1, lai gan tam nav jābūt. Ja abi ir 1, jūs pamatā izmantojat iepriekš aprakstīto saīsinājuma metodi.

Iedomāsimies problēmas piemēru. 3x² - 8x + 4 sākumā šķiet grūti. Tomēr, kad mēs saprotam, ka 3 ir tikai divi faktori (3 un 1), šis vienādojums kļūst vieglāks, jo mēs zinām, ka mūsu atbildei jābūt tādā formā (3x +/- _) (x +/- _). Šajā gadījumā, pievienojot -2 abām tukšajām vietām, tiek sniegta pareizā atbilde. -2 × 3x = -6x un -2 × x = -2x. -6x un -2x kopā līdz -8x. -2 × -2 = 4, tāpēc mēs redzam, ka, reizinot, iekavās iekļautie termini rada sākotnējo vienādojumu.

Solis 4. Atrisiniet, aizpildot kvadrātu

Dažos gadījumos kvadrātvienādojumus var ātri un viegli aprēķināt, izmantojot īpašas algebriskās identitātes. Jebkurš kvadrātvienādojums formā x² + 2xh + h² = (x + h)². Tātad, ja jūsu vienādojumā jūsu b vērtība ir divreiz lielāka par jūsu c vērtības kvadrātsakni, jūsu vienādojumu var aprēķināt kā (x + (sakne (c)))².

Piemēram, vienādojums x² +6x+9 ir šāda forma. 3² ir 9 un 3 × 2 ir 6. Tātad, mēs zinām, ka šī vienādojuma koeficienta forma ir (x + 3) (x + 3) vai (x + 3)².

Solis 5. Izmantojiet faktorus, lai atrisinātu kvadrātvienādojumus

Neatkarīgi no tā, kā jūs aprēķinājāt savu kvadrātvienādojumu, kad vienādojums ir ņemts vērā, jūs varat atrast iespējamās atbildes uz x vērtību, padarot katru koeficientu vienādu ar nulli un atrisinot tās. Tā kā jūs meklējat x vērtību, kas padara jūsu vienādojumu vienādu ar nulli, x vērtība, kas jebkuru faktoru padara vienādu ar nulli, ir iespējama atbilde uz jūsu kvadrātvienādojumu.

Atgriezīsimies pie vienādojuma x² + 5x + 6 = 0. Šis vienādojums tiek ņemts vērā (x + 3) (x + 2) = 0. Ja kāds no faktoriem ir vienāds ar 0, visi vienādojumi ir vienādi ar 0, tāpēc mūsu iespējamās atbildes uz x ir skaitļi- skaitlis, kas veido (x + 3) un (x + 2) ir vienādi ar 0. Šie skaitļi ir attiecīgi -3 un -2.

6. solis. Pārbaudiet savas atbildes - dažas atbildes var būt maldinošas

Kad atrodat iespējamās atbildes uz x, pievienojiet tās atpakaļ sākotnējam vienādojumam, lai redzētu, vai atbilde ir pareiza. Dažreiz atrastās atbildes nepadara sākotnējo vienādojumu vienādu ar nulli, ievadot to atkārtoti. Mēs šo atbildi saucam par deviantu un ignorējam.

• Ieliksim -2 un -3 x² + 5x + 6 = 0. Pirmkārt, -2:

  • (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0. Šī atbilde ir pareiza, tātad -2 ir pareizā atbilde.

• Mēģināsim -3:

  • (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 + 6 = 0
  • 0 = 0. Arī šī atbilde ir pareiza, tāpēc -3 ir pareizā atbilde.

3. metode no 3: citu vienādojumu faktorēšana

Solis 1. Ja vienādojums ir izteikts formā a²-b², koeficients (a+b) (a-b).

Vienādojumiem ar diviem mainīgajiem ir atšķirīgi faktori nekā pamata kvadrātvienādojumam. Vienādojumam a²-b² jebkas, kur a un b nav vienāds ar 0, vienādojuma faktori ir (a+b) (a-b).

Piemēram, vienādojums 9x² - 4 gadi² = (3x + 2g) (3x - 2g).

2. solis. Ja vienādojums ir izteikts formā a²+2ab+b², koeficients (a+b)².

Ņemiet vērā, ka, ja trinomiāls ir a²-2ab+b², formas faktori ir nedaudz atšķirīgi: (a-b)².

4x vienādojums² + 8xy + 4 g² var pārrakstīt kā 4x² + (2 × 2 × 2) xy + 4 g². Tagad mēs redzam, ka forma ir pareiza, tāpēc varam būt pārliecināti, ka mūsu vienādojuma faktori ir (2x + 2y)²

Solis 3. Ja vienādojums ir izteikts formā a³-b³, koeficients (a-b) (a²+ab+b²).

Visbeidzot, jau tika minēts, ka kubveida vienādojumus un pat lielākas pilnvaras var ņemt vērā, lai gan faktoringa process ātri kļūst ļoti sarežģīts.

Piemēram, 8x³ - 27 gadi³ ieskaitīts (2x - 3 g) (4x² + ((2x) (3g)) + 9g²)

Padomi

• a²-b² var ņemt vērā, a²+b² nevar ņemt vērā.
• Atcerieties, kā faktorēt konstanti. Tas varētu palīdzēt.
• Esiet uzmanīgs ar frakcijām faktoringa procesā un pareizi un rūpīgi strādājiet ar frakcijām.
• Ja jums ir trinomiāls formā x²+ bx+ (b/2)², formas koeficients ir (x+(b/2))². (Aizpildot laukumu, jūs varat saskarties ar šo situāciju.)
• Atcerieties, ka a0 = 0 (nulles reizinājuma īpašība).