Racionāls vienādojums ir daļa ar vienu vai vairākiem mainīgajiem skaitītājā vai saucējā. Racionāls vienādojums ir jebkura daļa, kas ietver vismaz vienu racionālu vienādojumu. Tāpat kā parastos algebriskos vienādojumus, racionālos vienādojumus atrisina, veicot vienu un to pašu darbību abās vienādojuma pusēs, līdz mainīgos var pārnest uz abām vienādojuma pusēm. Divi īpaši paņēmieni - krustota reizināšana un vismazākā kopsaucēja atrašana - ir ļoti noderīgi veidi, kā pārvietot mainīgos un atrisināt racionālus vienādojumus.
Solis
1. metode no 2: krustota reizināšana
1. solis. Ja nepieciešams, pārkārtojiet vienādojumu, lai vienādojuma vienā pusē iegūtu daļu
Krusteniskā reizināšana ir ātrs un vienkāršs veids, kā atrisināt racionālus vienādojumus. Diemžēl šo metodi var izmantot tikai racionāliem vienādojumiem, kas satur vismaz vienu racionālu vienādojumu vai daļu katrā vienādojuma pusē. Ja jūsu vienādojums neatbilst šīm vairāku produktu prasībām, jums, iespējams, būs jāizmanto algebriskās darbības, lai pārvietotu detaļas pareizajās vietās.
-
Piemēram, vienādojumu (x + 3)/4-x/(-2) = 0 var viegli ievietot krustotā produkta formā, abām vienādojuma pusēm pievienojot x/(-2), lai tas kļūtu par (x + 3)/4 = x/(-2).
Ņemiet vērā, ka decimālos un veselos skaitļus var pārvērst daļās, norādot saucēju 1. (x + 3)/4 - 2, 5 = 5, piemēram, var pārrakstīt kā (x + 3)/4 = 7, 5/ 1, padarot to atbilstošu krustveida reizināšanas nosacījumam
- Dažus racionālos vienādojumus nevar viegli samazināt līdz formai, kurā katrā pusē ir viena frakcija vai racionāls vienādojums. Šādos gadījumos izmantojiet to pašu mazākā saucēja pieeju.
Solis 2. Krustu reizināt
Krusteniskā reizināšana nozīmē reizināt vienu no daļas skaitītājiem ar citas daļas saucēju un otrādi. Reiziniet frakcijas skaitītāju kreisajā pusē ar frakcijas saucēju labajā pusē. Atkārtojiet ar labo saucēju ar kreiso saucēju.
Krusteniskā reizināšana darbojas saskaņā ar algebriskiem pamatprincipiem. Racionālos vienādojumus un citas frakcijas var pārvērst par daļām, reizinot tās ar saucēju. Šķērsprodukts būtībā ir ātrs veids, kā reizināt abas vienādojuma puses ar abiem saucējiem. Neticu? Izmēģiniet - pēc vienkāršošanas jūs iegūsit tādu pašu rezultātu
Solis 3. Padariet abus produktus vienādus
Pēc krusteniskās reizināšanas jūs iegūsit divus reizināšanas rezultātus. Padariet tos vienādus viens ar otru un vienkāršojiet, lai vienādojums būtu pēc iespējas vienkāršāks.
Piemēram, ja jūsu sākotnējais racionālais vienādojums bija (x+3)/4 = x/(-2), pēc krusteniskās reizināšanas jūsu jaunais vienādojums kļūst par -2 (x+3) = 4x. Ja vēlaties, varat to uzrakstīt arī kā -2x - 6 = 4x
Solis 4. Atrodiet mainīgā vērtību
Izmantojiet algebriskās operācijas, lai atrastu vienādojuma mainīgā vērtību. Atcerieties, ka, ja x parādās vienādojuma abās pusēs, jums jāpievieno vai jāatņem x no abām vienādojuma pusēm, lai x paliktu tikai vienā vienādojuma pusē.
Mūsu piemērā abas vienādojuma puses varam dalīt ar -2, tātad x+3 = -2x. Atņemot x no abām pusēm, iegūstam 3 = -3x. Visbeidzot, dalot abas puses ar -3, rezultāts kļūst -1 = x, ko var uzrakstīt kā x = -1. Mēs esam atraduši x vērtību, atrisinot mūsu racionālo vienādojumu
2. metode no 2: vismazākā kopsaucēja atrašana
1. solis. Ziniet precīzu laiku, lai izmantotu to pašu mazāko saucēju
To pašu mazāko saucēju var izmantot, lai vienkāršotu racionālos vienādojumus, padarot tos meklējamus mainīgo vērtībās. Vismazākā kopsaucēja atrašana ir laba ideja, ja jūsu racionālo vienādojumu nevar viegli uzrakstīt vienā frakcijā (un tikai vienā frakcijā) katrā vienādojuma pusē. Lai atrisinātu racionālus vienādojumus ar trim vai vairākām daļām, noder vismazākais kopsaucējs. Tomēr, lai atrisinātu racionālu vienādojumu, kas sastāv tikai no divām daļām, ir ātrāk izmantot šķērsproduktu.
2. solis. Pārbaudiet katras frakcijas saucēju
Nosakiet mazāko skaitli, ko katrs saucējs var sadalīt, un iegūstiet veselu skaitli. Šis skaitlis ir jūsu vienādojuma vismazāk kopsaucējs.
- Dažreiz mazākais kopsaucējs - tas ir, mazākais skaitlis, kuram ir visi faktori - saucējā. Piemēram, ja jūsu vienādojums ir x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, nav grūti saskatīt mazāko skaitli, kura koeficients ir 3, 2 un 6, kas ir skaitlis 6.
- Tomēr bieži vien racionālā vienādojuma vismazāk kopsaucējs nav skaidri redzams. Šādā gadījumā mēģiniet pārbaudīt lielāka saucēja daudzkārtņus, līdz atrodat skaitli, kuram ir visu pārējo mazāko saucēju koeficients. Bieži vien vismazākais kopsaucējs ir divu saucēju reizinājums. Piemēram, vienādojumā x/8 + 2/6 = (x-3)/9 vismazākais kopsaucējs ir 8*9 = 72.
- Ja vienam vai vairākiem jūsu frakcijas saucējiem ir mainīgie, šis process ir grūtāks, bet iespējams. Šādā gadījumā vismazāk kopsaucējs ir vienādojums (ar mainīgo), kas dalās ar visiem pārējiem saucējiem. Piemēram, vienādojumā 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) vismazākais kopsaucējs ir 3x (x-1), jo jebkurš saucējs to var sadalīt-dalot ar (x-1) iegūst 3x, dalot ar 3x dod (x-1), un dalot ar x iegūst 3 (x-1).
Solis 3. Realizējiet katru racionālā vienādojuma daļu ar 1
Katras daļas reizināšana ar 1 šķiet bezjēdzīga. Bet šeit ir triks. 1 var definēt kā jebkuru skaitli, kas ir vienāds gan skaitītājā, gan saucējā, piemēram, -2/2 un 3/3, kas ir pareizais veids, kā rakstīt 1. Šī metode izmanto alternatīvās definīcijas priekšrocības. Reiziniet katru racionālā vienādojuma daļu ar 1, pierakstot skaitli 1, kas, reizinot ar saucēju, dod mazāko kopsaucēju.
- Mūsu pamata piemērā mēs reizināsim x/3 ar 2/2, lai iegūtu 2x/6, un reizinātu 1/2 ar 3/3, lai iegūtu 3/6. 2x + 1/6 jau ir tas pats mazākais saucējs, kas ir 6, tāpēc mēs varam to reizināt ar 1/1 vai atstāt mierā.
- Mūsu piemērā ar mainīgo frakcijas saucējā process ir nedaudz sarežģītāks. Tā kā mūsu mazākais saucējs ir 3x (x-1), mēs katru racionālo vienādojumu reizinām ar kaut ko, kas atgriež 3x (x-1). Mēs reizināsim 5/(x-1) ar (3x)/(3x), kas dos 5 (3x)/(3x) (x-1), reizināsim 1/x ar 3 (x-1)/3 (x- 1) kas dod 3 (x-1)/3x (x-1), un, reizinot 2/(3x) ar (x-1)/(x-1), iegūst 2 (x-1)/3x (x- 1)).
Solis 4. Vienkāršojiet un atrodiet x vērtību
Tagad, tā kā katrai racionālā vienādojuma daļai ir vienāds saucējs, jūs varat noņemt saucēju no vienādojuma un atrisināt skaitītāju. Reiziniet abas vienādojuma puses, lai iegūtu skaitītāja vērtību. Pēc tam izmantojiet algebriskās darbības, lai vienādojuma vienā pusē atrastu x vērtību (vai jebkuru mainīgo, kuru vēlaties atrisināt).
- Mūsu pamata piemērā pēc visu daļu reizināšanas ar alternatīvo formu 1 mēs iegūstam 2x/6 + 3/6 = (3x + 1)/6. Var pievienot divas frakcijas, ja tām ir vienāds saucējs, tāpēc mēs varam vienkāršot šo vienādojumu līdz (2x+3)/6 = (3x+1)/6, nemainot vērtību. Reiziniet abas puses ar 6, lai noņemtu saucēju, tāpēc rezultāts ir 2x+3 = 3x+1. Atņemiet 1 no abām pusēm, lai iegūtu 2x+2 = 3x, un atņemiet 2x no abām pusēm, lai iegūtu 2 = x, ko var uzrakstīt kā x = 2.
- Mūsu piemērā ar mainīgo saucējā mūsu vienādojums pēc reizināšanas ar 1 kļūst 5 (3x)/(3x) (x-1) = 3 (x-1)/3x (x-1) + 2 (x-1) /3x (x-1). Reizinot visas daļas ar vienu un to pašu mazāko saucēju, ļaujot izlaist saucēju, kļūst 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Tas attiecas arī uz 5x = 3x -3 + 2x -2, kas vienkāršojas līdz 15x = x -5. Atņemot x no abām pusēm, iegūst 14x = -5, kas galu galā vienkāršo līdz x = -5/14.
Padomi
- Kad esat atrisinājis mainīgo, pārbaudiet savu atbildi, pievienojot mainīgā vērtību sākotnējam vienādojumam. Ja jūsu mainīgā vērtība ir pareiza, varat vienkāršot sākotnējo vienādojumu vienkāršā paziņojumā, kas vienmēr ir vienāds ar 1 = 1.
- Ņemiet vērā, ka jūs varat uzrakstīt jebkuru polinomu kā racionālu vienādojumu; novietojiet to virs saucēja 1. Tātad x+3 un (x+3)/1 ir vienāda vērtība, bet otro vienādojumu var klasificēt kā racionālu vienādojumu, jo tas ir uzrakstīts kā daļa.
