Atvasinājumus var izmantot, lai no grafika iegūtu noderīgas īpašības, piemēram, maksimālās, minimālās, maksimālās, minimālās un slīpuma vērtības. Jūs pat varat to izmantot, lai grafiski attēlotu sarežģītus vienādojumus bez grafiskā kalkulatora! Diemžēl darbs pie atvasinātajiem instrumentiem bieži vien ir garlaicīgs, taču šis raksts jums palīdzēs ar dažiem padomiem un ieteikumiem.
Solis
1. solis. Izprotiet atvasinātos apzīmējumus
Visbiežāk tiek izmantoti šādi divi apzīmējumi, lai gan daudzus citus var atrast šeit Wikipedia.
- Leibnica apzīmējums Šis apzīmējums ir visbiežāk izmantotais apzīmējums, kad vienādojums ietver y un x. dy/dx burtiski nozīmē y atvasinājumu attiecībā pret x. Varētu būt lietderīgi to uzskatīt par y/Δx ļoti atšķirīgām x un y vērtībām. Šis skaidrojums noved pie atvasinājuma limita definīcijas: limh-> 0 (f (x+h) -f (x))/h. Izmantojot šo apzīmējumu otrajam atvasinājumam, jums jāraksta: d2y/dx2.
- Lagranža apzīmējums Funkcijas f atvasinājums tiek rakstīts arī kā f '(x). Šis apzīmējums ir f ar akcentu x. Šis apzīmējums ir īsāks nekā Leibnica apzīmējums, un tas ir noderīgs, aplūkojot atvasinājumus kā funkcijas. Lai izveidotu lielāku atvasinājuma pakāpi, vienkārši pievienojiet 'f, lai otrais atvasinājums būtu f' '(x).
2. solis. Izprotiet atvasinājuma nozīmi un nolaišanās iemeslus
Pirmkārt, lai atrastu lineārā grafika slīpumu, tiek ņemti divi līnijas punkti un to koordinātas tiek ievadītas vienādojumā (y2 - g1)/(x2 - x1). Tomēr to var izmantot tikai lineāriem grafikiem. Kvadrātvienādojumiem un augstākiem taisne būs līkne, tāpēc atšķirības noteikšana starp diviem punktiem nav ļoti precīza. Lai atrastu pieskares slīpumu līknes grafikā, tiek ņemti divi punkti un ievietoti vispārējā vienādojumā, lai atrastu līknes grafika slīpumu: [f (x + dx) - f (x)]/dx. Dx apzīmē delta x, kas ir atšķirība starp divām x koordinātām divos grafika punktos. Ņemiet vērā, ka šis vienādojums ir tāds pats kā (y2 - g1)/(x2 - x1), tikai citā formā. Tā kā bija zināms, ka rezultāti būs neprecīzi, tika izmantota netieša pieeja. Lai atrastu pieskares slīpumu uz (x, f (x)), dx jābūt tuvu 0, lai abi zīmētie punkti saplūst vienā punktā. Tomēr jūs nevarat dalīt 0, tāpēc, kad esat ievadījis divu punktu vērtības, jums būs jāizmanto faktorings un citas metodes, lai noņemtu dx no vienādojuma apakšas. Kad esat to izdarījis, izveidojiet dx 0 un esat pabeidzis. Tas ir (x, f (x)) pieskares slīpums. Vienādojuma atvasinājums ir vispārējs vienādojums jebkura pieskares slīpuma noteikšanai grafikā. Tas var šķist ļoti sarežģīti, taču zemāk ir daži piemēri, kas palīdzēs izskaidrot, kā iegūt atvasinājumu.
1. metode no 4: skaidri atvasinājumi
1. solis. Izmantojiet skaidru atvasinājumu, ja jūsu vienādojuma vienā pusē jau ir y
Solis 2. Pievienojiet vienādojumu vienādojumam [f (x + dx) - f (x)]/dx
Piemēram, ja vienādojums ir y = x2, atvasinājums būs [(x + dx)2 - x2]/dx.
3. solis. Izvērsiet un noņemiet dx, lai izveidotu vienādojumu [dx (2x + dx)]/dx
Tagad jūs varat iemest divus dx augšpusē un apakšā. Rezultāts ir 2x + dx, un, kad dx tuvojas nullei, atvasinājums ir 2x. Tas nozīmē, ka jebkura grafika pieskares slīpums y = x2 ir 2x. Vienkārši ievadiet x vērtību punktam, kuram vēlaties atrast slīpumu.
4. solis. Uzziniet līdzīgu vienādojumu iegūšanas modeļus
Šeit ir daži piemēri.
- Jebkurš eksponents ir jauda, reizināta ar vērtību, kas paaugstināta līdz jaudai, kas mazāka par 1. Piemēram, atvasinājums no x5 ir 5x4un x atvasinājums3, 5 iis3, 5x2, 5. Ja x priekšā jau ir skaitlis, vienkārši reiziniet to ar jaudu. Piemēram, atvasinājums no 3x4 ir 12x3.
- Jebkuras konstantes atvasinājums ir nulle. Tātad atvasinājums no 8 ir 0.
- Summas atvasinājums ir attiecīgo atvasināto instrumentu summa. Piemēram, atvasinājums no x3 + 3x2 ir 3x2 + 6x.
- Produkta atvasinājums ir pirmais koeficients, kas reizināts ar otrā faktora atvasinājumu, plus otrais koeficients reizināts ar pirmā faktora atvasinājumu. Piemēram, atvasinājums no x3(2x + 1) ir x3(2) + (2x + 1) 3x2, kas ir vienāds ar 8x3 + 3x2.
- Dalītāja atvasinājums (teiksim, f/g) ir [g (f atvasinājums) - f (g atvasinājums)]/g2. Piemēram, atvasinājums no (x2 + 2x - 21)/(x - 3) ir (x2 - 6x + 15)/(x - 3)2.
2. metode no 4: netiešie atvasinājumi
1. solis. Izmantojiet netiešos atvasinājumus, ja vienādojumu jau nevar uzrakstīt ar y vienā pusē
Patiesībā, ja vienā pusē rakstītu y, dy/dx aprēķināšana būtu garlaicīga. Šeit ir piemērs tam, kā jūs varat atrisināt šāda veida vienādojumus.
2. solis. Šajā piemērā x2y + 2g3 = 3x + 2y, aizstājiet y ar f (x), lai jūs atcerētos, ka y faktiski ir funkcija.
Tad vienādojums kļūst par x2f (x) + 2 [f (x)]3 = 3x + 2f (x).
3. solis. Lai atrastu šī vienādojuma atvasinājumu, atvasiniet abas vienādojuma puses attiecībā pret x
Tad vienādojums kļūst par x2f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2f '(x) = 3 + 2f' (x).
4. solis. Aizstājiet f (x) ar y vēlreiz
Uzmanieties, lai neaizvietotu f '(x), kas atšķiras no f (x).
5. solis. Atrodiet f '(x)
Atbilde uz šo piemēru ir (3 - 2xy)/(x2 + 6 gadi2 - 2).
3. metode no 4: augstākās kārtas atvasinājumi
1. solis. Augstākas kārtas funkcijas atvasināšana nozīmē, ka jūs atvasināt atvasinājumu (pēc 2. kārtas)
Piemēram, ja problēma liek jums iegūt trešo kārtu, tad vienkārši ņemiet atvasinājuma atvasinājumu. Dažiem vienādojumiem augstākās kārtas atvasinājums būs 0.
4. metode no 4: ķēdes noteikums
1. solis. Ja y ir z diferenciālā funkcija un z ir diferenciālā funkcija x, y ir x salikta funkcija, un y atvasinājums attiecībā pret x (dy/dx) ir (dy/du)* (du/dx)
Ķēdes noteikums var būt arī jaudas vienādojumu kombinācija, piemēram, šāda: (2x4 - x)3. Lai atrastu atvasinājumu, iedomājieties to kā reizināšanas noteikumu. Reiziniet vienādojumu ar jaudu un samaziniet par 1 līdz jaudai. Pēc tam reiziniet vienādojumu ar iekavās esošā vienādojuma atvasinājumu, kas palielina jaudu (šajā gadījumā 2x^4 - x). Atbilde uz šo jautājumu ir 3 (2x4 - x)2(8x3 - 1).
Padomi
- Ikreiz, kad redzat grūti atrisināmu problēmu, neuztraucieties. Vienkārši mēģiniet to sadalīt pēc iespējas vairāk mazās daļās, piemērojot reizināšanas, koeficienta utt. Pēc tam nolaidiet katru daļu.
- Praktizējiet ar reizināšanas noteikumu, koeficienta noteikumu, ķēdes likumu un jo īpaši ar netiešiem atvasinājumiem, jo šie noteikumi ir daudz grūtāk aprēķināt.
- Labi izprotiet savu kalkulatoru; izmēģiniet dažādas kalkulatora funkcijas, lai uzzinātu, kā tās izmantot. Ir ļoti noderīgi zināt, kā kalkulatorā izmantot pieskares un atvasinātās funkcijas, ja tās ir pieejamas.
- Atcerieties pamata trigonometriskos atvasinājumus un to izmantošanu.
