Vektors ir fizisks lielums, kuram ir gan lielums, gan virziens (piemēram, ātrums, paātrinājums un pārvietojums), nevis skalārs, kas sastāv tikai no lieluma (piemēram, ātruma, attāluma vai enerģijas). Ja skalārus var pievienot, pievienojot lielumus (piemēram, 5 kJ darbs plus 6 kJ darbs ir vienāds ar 11 kJ darbu), vektorus ir nedaudz sarežģīti pievienot vai atņemt. Skatiet 1. darbību, lai uzzinātu dažus veidus, kā pievienot vai atņemt vektorus.
Solis
1. metode no 3: Vektoru pievienošana un atņemšana, kuru sastāvdaļas ir zināmas
1. solis. Pierakstiet vektora izmēru komponentus vektoru apzīmējumos
Tā kā vektoriem ir lielums un virziens, tos parasti var sadalīt daļās, pamatojoties uz x, y un/vai z izmēriem. Šīs dimensijas parasti tiek rakstītas līdzīgā apzīmējumā, lai aprakstītu punktu koordinātu sistēmā (piemēram, un citi). Ja jūs zināt šo daļu, vektoru pievienošana vai atņemšana ir ļoti vienkārša, vienkārši pievienojiet vai atņemiet to x, y un z koordinātas.
- Ievērojiet, vai vektora izmēri ir 1, 2 vai 3. Tādējādi vektoram var būt komponenti x, x un y vai x, y un z. Mūsu nākamajā piemērā tiek izmantots trīsdimensiju vektors, bet process ir kā 1 vai 2 dimensiju vektors.
- Pieņemsim, ka mums ir divi trīsdimensiju vektori-vektors A un vektors B. Šos vektorus varam uzrakstīt, izmantojot vektoru apzīmējumus, piemēram, A = un B =, kur a1 un a2 ir x komponenti, b1 un b2 ir y komponenti, un c1 un c2 ir sastāvdaļas z.
2. solis. Lai pievienotu abus vektorus, pievienojiet to komponentus
Ja ir zināmas divas vektora sastāvdaļas, vektorus varat pievienot, pievienojot katra komponentu. Citiem vārdiem sakot, pievienojiet pirmā vektora x komponentu otrā vektora x komponentam un dariet to pašu attiecībā uz y un z. Atbilde, ko saņemat, saskaitot šo vektoru x, y un z komponentus, ir jaunā vektora x, y un z komponenti.
- Vispārīgi runājot, A+B =.
- Pievienosim divus vektorus A un B. A = un B =. A + B =, vai.
3. solis. Lai atņemtu abus vektorus, atņemiet to komponentus
Kā mēs vēlāk apspriedīsim, viena vektora atņemšanu no cita var uzskatīt par tā savstarpējo vektoru pievienošanu. Ja ir zināmi abu vektoru komponenti, ir iespējams atņemt vienu vektoru no otra, atņemot pirmo komponentu no otrā komponenta (vai pievienojot abu negatīvās sastāvdaļas).
- Vispārīgi runājot, A-B =
- Atņemsim divus vektorus A un B. A = un B =. A - B =, vai.
2. metode no 3: attēlu pievienošana un atņemšana, izmantojot galvas un astes metodi
Solis 1. Simbolizējiet vektoru, zīmējot to, izmantojot galvu un asti
Tā kā vektoriem ir gan lielums, gan virziens, mēs varam teikt, ka tiem ir aste un galva. Citiem vārdiem sakot, vektoram ir sākuma punkts un beigu punkts, kas norāda vektora virzienu, kura attālums no sākuma punkta ir vienāds ar vektora lielumu. Zīmējot, vektors iegūst bultiņas formu. Bultas gals ir vektora galva, un vektora līnijas gals ir aste.
Ja veidojat vektoru zīmējumu ar izmēriem, jums precīzi jāizmēra un jāzīmē visi stūri. Nepareizs attēla leņķis ietekmēs iegūto rezultātu, ja, izmantojot šo metodi, tiek pievienoti vai atņemti divi vektori
2. solis. Lai pievienotu, uzzīmētu vai pārvietotu otro vektoru tā, lai aste atbilstu pirmā vektora galvai
To sauc par galvas un astes vektoru apvienošanu. Ja jūs vienkārši saskaitāt divus vektorus, tad jums ir jādara, pirms atrodat iegūto vektoru.
Ņemiet vērā, ka vektoru pievienošanas secībai nav nozīmes, pieņemot, ka izmantojat to pašu sākuma punktu. Vektors A + vektors B = vektors B + Veltors A
3. solis. Lai atņemtu, pievienojiet vektoram negatīvu zīmi
Vektoru samazināšana, izmantojot attēlus, ir ļoti vienkārša. Apgrieziet vektora virzienu, bet nemainiet lielumu un saskaitiet savu vektora galvu un asti kā parasti. Citiem vārdiem sakot, lai atņemtu vektoru, pagrieziet vektoru par 180o un saskaitīt.
4. solis. Ja pievienojat vai atņemat vairāk nekā divus vektorus, apvienojiet visus vektorus secībā no galvas līdz astei
Apvienošanas kārtībai nav nozīmes. Šo metodi var izmantot neatkarīgi no vektoru skaita.
Solis 5. Uzzīmējiet jaunu vektoru no pirmā vektora astes līdz pēdējā vektora galvai
Neatkarīgi no tā, vai pievienojat/atņemat divus vektorus vai simtu, vektors, kas stiepjas no sākotnējā sākuma punkta (pirmā vektora astes) līdz pēdējā vektora beigu punktam (pēdējā vektora galva), ir iegūtais vektors. vai visu jūsu vektoru summa. Ņemiet vērā, ka šis vektors ir tieši tāds pats kā vektors, kas iegūts, saskaitot visus x, y un/vai z komponentus.
- Ja jūs uzzīmējat visus vektorus pēc izmēra, pareizi izmērot visus leņķus, jūs varat noteikt iegūtā vektora lielumu, izmērot tā garumu. Varat arī izmērīt leņķi starp iegūto un jebkuru vektoru horizontāli vai vertikāli, lai noteiktu tā virzienu.
- Ja neuzzīmējat visus vektorus pēc izmēra, iespējams, jums būs jāaprēķina rezultāta lielums, izmantojot trigonometriju. Varbūt sinusa un kosinusa noteikumi palīdzēs. Ja pievienojat vairāk nekā divus vektorus, ir lietderīgi pirmo vektoru pievienot līdz otrajam, pēc tam otrā rezultātu pievienot trešajam utt. Plašāku informāciju skatiet turpmākajās sadaļās.
6. solis. Uzzīmējiet iegūto vektoru, izmantojot tā lielumu un virzienu
Vektoru nosaka tā garums un virziens. Tāpat kā iepriekš, pieņemot, ka precīzi uzzīmējāt savu vektoru, jaunā vektora lielums ir tā garums un virziens ir leņķis attiecībā pret vertikālo vai horizontālo virzienu. Izmantojiet pievienotos vai atņemtos mērvienību vektorus, lai noteiktu iegūtā vektora lieluma vienības.
Piemēram, ja pievienotie vektori attēlo ātrumu ms-1, tad iegūto vektoru var definēt kā "ātrums x ms-1 pret y o horizontālā virzienā.
3. metode no 3: Vektoru pievienošana un atņemšana, norādot vektoru izmēru komponentus
1. solis. Izmantojiet trigonometriju, lai noteiktu vektora komponentus
Lai atrastu vektora komponentus, parasti jāzina tā lielums un virziens attiecībā pret horizontālo vai vertikālo virzienu un jāsaprot trigonometrija. Pieņemot divdimensiju vektoru, vispirms iedomājieties savu vektoru kā taisnstūra trīsstūra hipotenūzi, kuras abas malas ir paralēlas virzieniem x un y. Šīs divas puses var uzskatīt par vektoru no galvas līdz astes sastāvdaļām, kas kopā veido jūsu vektoru.
- Abu pušu garumi ir vienādi ar jūsu vektora x un y komponentiem, un to var aprēķināt, izmantojot trigonometriju. Ja x ir vektora lielums, vektora leņķim blakus esošā puse (attiecībā pret horizontālo, vertikālo un citiem virzieniem) ir xcos (θ), bet pretējā puse ir xsin (θ).
- Ir arī ļoti svarīgi ņemt vērā jūsu sastāvdaļu virzienu. Ja komponents norāda uz negatīvu koordinātu, tam tiek dota negatīva zīme. Piemēram, divdimensiju plaknē, ja komponents ir vērsts pa kreisi vai uz leju, tas ir negatīvs.
- Piemēram, pieņemsim, ka mums ir vektors ar lielumu 3 un virzienu 135o attiecībā pret horizontāli. Izmantojot šo informāciju, mēs varam noteikt, ka x komponents ir 3cos (135) = - 2, 12 un y komponents ir 3sin (135) = 2, 12
2. solis. Pievienojiet vai atņemiet divus vai vairākus saistītus vektorus
Kad esat atradis visu savu vektoru komponentus, pievienojiet tos, lai atrastu iegūtā vektora komponentus. Vispirms saskaitiet visus horizontālo komponentu lielumus (kas ir paralēli x virzienam). Atsevišķi saskaitiet visus vertikālo komponentu lielumus (kas ir paralēli y virzienam). Ja komponents ir negatīvs (-), tā lielums tiek atņemts, nevis pievienots. Atbilde ir jūsu iegūtā vektora sastāvdaļa.
Piemēram, vektoram tiek pievienots iepriekšējā soļa vektors,. Šajā gadījumā iegūtais vektors kļūst vai
Solis 3. Aprēķiniet iegūtā vektora lielumu, izmantojot Pitagora teorēmu
Pitagora teorēma c2= a2+b2, tiek izmantots, lai atrastu taisnstūra trīsstūra malas garumu. Tā kā trijstūris, ko veido mūsu iegūtais vektors un tā sastāvdaļas, ir taisnstūris, mēs varam to izmantot, lai atrastu vektora garumu un lielumu. Ja c ir meklējamā vektora lielums, pieņemsim, ka a ir x komponenta lielums un b ir y komponenta lielums. Atrisiniet, izmantojot algebru.
-
Lai atrastu vektora lielumu, kura komponentus mēs meklējām iepriekšējā solī, izmantojiet Pitagora teorēmu. Atrisiniet šādi:
- c2=(3, 66)2+(-6, 88)2
- c2=13, 40+47, 33
- c = √60, 73 = 7, 79
Solis 4. Aprēķiniet iegūto virzienu, izmantojot funkciju Pieskare
Visbeidzot, atrodiet iegūto virziena vektoru. Izmantojiet formulu = iedegums-1(b/a), kur ir x vai horizontālā virzienā izveidotā leņķa lielums, b ir y komponenta lielums un a ir x komponenta lielums.
-
Lai atrastu mūsu vektora virzienu, izmantojiet = iedegums-1(ba).
- = iedegums-1(-6, 88/3, 66)
- = iedegums-1(-1, 88)
- = -61, 99o
Solis 5. Uzzīmējiet iegūto vektoru atbilstoši tā lielumam un virzienam
Kā rakstīts iepriekš, vektorus nosaka to lielums un virziens. Noteikti izmantojiet vektora izmēram atbilstošās vienības.
Piemēram, ja mūsu vektora piemērs attēlo spēku (ņūtonos), tad mēs varam to uzrakstīt "spēks 7,79 N līdz -61,99 o uz horizontālu ".
Padomi
- Vektors atšķiras no lielā.
- Vektorus ar tādu pašu virzienu var pievienot vai atņemt, pievienojot vai atņemot to lielumus. Ja jūs apkopot divi vektori, kas ir pretēji, to lielumi tiek atņemti, nevis pievienoti.
- Vektorus, kas attēloti formā x i + y j + z k, var pievienot vai atņemt, pievienojot vai atņemot trīs vienību vektoru koeficientus. Atbilde ir arī i, j un k formā.
- Trīsdimensiju vektora lielumu var atrast, izmantojot formulu a2= b2+c2+d2 kur a ir vektora lielums, un b, c un d ir katra virziena sastāvdaļas.
- Kolonnu vektorus var pievienot un atņemt, pievienojot vai atņemot katras rindas vērtības.
