Algebra apgūšana ir būtiska, lai turpinātu gandrīz jebkura veida matemātiku, gan pamatskolā, gan vidusskolā. Katram matemātikas līmenim ir pamats, tāpēc katrs matemātikas līmenis ir ļoti svarīgs. Tomēr pat visvienkāršākās algebriskās prasmes iesācējiem var būt grūti aptvert, pirmo reizi sastopoties ar tām. Ja jums ir problēmas ar algebras pamata tēmām, neuztraucieties - ar nelielu papildu paskaidrojumu, dažiem vienkāršiem piemēriem un dažiem padomiem, kā uzlabot savas prasmes, jūs drīz risināsit algebra problēmas kā profesionālis.
Solis
1. daļa no 5: Algebra pamatnoteikumu apguve
1. solis. Pārskatiet matemātikas pamatdarbības
Lai sāktu apgūt algebru, jums jāzina matemātikas pamatprasmes, piemēram, saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un dalīšana. Šī sākumskolas/pamatskolas matemātika ir ļoti svarīga, pirms sākat mācīties algebru. Ja neapgūsit šīs prasmes, būs grūti pabeigt sarežģītākus jēdzienus, kas tiek mācīti algebrā. Ja šīm darbībām nepieciešama atsvaidzināšana, izmēģiniet mūsu rakstu par matemātikas pamatprasmēm.
Lai veiktu algebriskas problēmas, jums nav labi jādara šīs pamata darbības galvā. Daudzas algebra klases ļauj izmantot kalkulatoru, lai ietaupītu laiku, veicot šīs vienkāršās darbības. Tomēr jums vismaz vajadzētu zināt, kā veikt šīs darbības bez kalkulatora, ja jums nav atļauts izmantot kalkulatoru
2. solis. Ziniet darbību secību
Viena no sarežģītākajām lietām algebrisko vienādojumu risināšanā kā iesācējam ir to sākuma secības zināšana. Par laimi, šo problēmu risināšanai ir noteikta kārtība: vispirms veiciet iekavās jebkuru matemātisko darbību, pēc tam veiciet eksponentus, tad reiziniet, tad daliet, tad pievienojiet un visbeidzot atņemiet. Noderīgs līdzeklis šo darbību secības atcerēšanai ir akronīmi KPKBJK. Uzziniet, kā piemērot darbību secību šeit. Rezumējot, darbību secība ir šāda:
- Kneizdoties
- Lpppacēlājs/eksponents
- Kali
- Bvēlreiz
- Džumlah
- Kgarneles
-
Operāciju secība ir svarīga algebrā, jo darbības, veicot algebra uzdevumu nepareizā secībā, dažreiz var ietekmēt atbildi. Piemēram, ja mēs veicam matemātikas uzdevumu 8 + 2 × 5, ja vispirms pievienojam 2 un 8, iegūstam 10 × 5 = 50, bet, ja vispirms reizinām 2 un 5, iegūstam 8 + 10 =
18. darbība.. Tikai otrā atbilde ir pareiza.
Solis 3. Ziniet, kā lietot negatīvos skaitļus
Algebrā negatīvo skaitļu izmantošana ir ļoti izplatīta. Tāpēc pirms algebra apguves ir ieteicams pārskatīt, kā saskaitīt, atņemt, reizināt un dalīt negatīvos skaitļus. Šeit ir jāatceras daži pamatnoteikumi par negatīviem skaitļiem - lai iegūtu vairāk informācijas, skatiet mūsu rakstus par negatīvo skaitļu pievienošanu un atņemšanu, kā arī negatīvo skaitļu dalīšanu un reizināšanu.
- Ciparu rindā skaitļa negatīvā versija ir tādā pašā attālumā no nulles kā pozitīvais skaitlis no nulles, bet pretējā virzienā.
- Pievienojot divus negatīvus skaitļus, skaitlis kļūst vēl negatīvāks (citiem vārdiem sakot, cipars būs lielāks, bet, tā kā skaitlis ir negatīvs, vērtība būs mazāka)
- Divas negatīvas zīmes atceļ viena otru - negatīva skaitļa atņemšana ir tas pats, kas pozitīva skaitļa pievienošana
- Divu negatīvu skaitļu reizināšana vai dalīšana dod pozitīvu atbildi.
- Pozitīva skaitļa un negatīva skaitļa reizināšana vai dalīšana dod negatīvu atbildi.
4. Ziniet, kā strukturēt garus jautājumus
Lai gan vienkāršas algebra problēmas var viegli atrisināt, sarežģītākas problēmas var prasīt daudzus soļus. Lai izvairītos no kļūdām, organizējiet savu darbu, sākot jaunu rindu katru reizi, kad veicat soli, lai atrisinātu problēmu. Ja strādājat ar divpusēju vienādojumu, mēģiniet uzrakstīt visas vienādības zīmes (“=”) zem pārējām vienādības zīmēm. Tādā veidā, ja kaut kur kļūdāties, to būs vieglāk atrast un labot.
-
Piemēram, lai atrisinātu vienādojumu 9/3 - 5 + 3 × 4, mēs varētu strukturēt savu problēmu šādi:
-
- 9/3 - 5 + 3 × 4
- 9/3 - 5 + 12
- 3 - 5 + 12
- 3 + 7
- 10. solis.
-
2. daļa no 5: Izpratne par mainīgajiem
1. solis. Meklējiet simbolus, kas nav cipari
Algebrā matemātikas uzdevumos sāks redzēt burtus un simbolus, nevis tikai ciparus. Šos burtus un simbolus sauc par mainīgajiem. Mainīgie nav tik mulsinoši, kā varētu šķist no pirmā acu uzmetiena - tie ir tikai veids, kā pierakstīt skaitļus ar nezināmām vērtībām. Zemāk ir tikai daži izplatīti algebras mainīgo piemēri:
- Tādi burti kā x, y, z, a, b un c
- Grieķu burti, piemēram, teta vai
- Ņemiet vērā, ka ne visi simboli ir nezināmi mainīgie. Piemēram, pi vai vai vienmēr ir aptuveni 3.1459.
Solis 2. Domājiet par mainīgajiem kā “nezināmiem” skaitļiem
Kā minēts iepriekš, mainīgie būtībā ir tikai skaitļi ar nezināmām vērtībām. Parasti jūsu mērķis algebra uzdevumos ir noskaidrot mainīgā vērtību - domājiet par mainīgo kā par "noslēpumaino skaitli", kuru mēģināt atrast.
-
Piemēram, vienādojumā 2x + 3 = 11 x ir mūsu mainīgais. Tas nozīmē, ka ir vairākas vērtības, kas aizņem x vietu, lai vienādojuma kreisā puse būtu vienāda ar 11. Tā kā 2 × 4 + 3 = 11, šajā gadījumā x =
4. solis..
-
Vienkāršs veids, kā sākt izprast mainīgos, ir aizstāt tos ar jautājuma zīmēm algebra uzdevumos. Piemēram, mēs varam pārrakstīt vienādojumu 2 + 3 + x = 9 uz 2 + 3 +?
= 9. Tādējādi mums ir vieglāk saprast lietas, ko mēs cenšamies darīt - mums vienkārši jāatrod vērtība, kas jāpievieno 2 + 3 = 5, lai iegūtu 9. Atkal, protams, atbilde ir
4. solis..
3. solis. Ja mainīgais notiek vairāk nekā vienu reizi, vienkāršojiet mainīgo
Ko darīt, ja vienāds mainīgais vienādojumā parādās vairāk nekā vienu reizi? Lai gan šķiet, ka šo situāciju ir grūti atrisināt, jūs faktiski varat izturēties pret mainīgajiem tāpat kā pret parastajiem skaitļiem - citiem vārdiem sakot, varat tos saskaitīt, atņemt un tā tālāk, ja vien apvienojat tikai līdzīgus mainīgos. Citiem vārdiem sakot, x + x = 2x, bet x + y nav vienāds ar 2xy.
-
Piemēram, aplūkosim vienādojumu 2x + 1x = 9. Šajā uzdevumā mēs varam pievienot 2x un 1x, lai iegūtu 3x = 9. Tā kā 3 x 3 = 9, mēs zinām, ka x =
3. solis..
- Vēlreiz ņemiet vērā, ka tos pašus mainīgos var pievienot tikai kopā. Vienādojumā 2x + 1y = 9 mēs nevaram apvienot 2x un 1y, jo tie ir dažādi mainīgie.
- Tas attiecas arī uz gadījumiem, kad vienam mainīgajam ir atšķirīgs eksponents nekā otram. Piemēram, vienādojumā 2x + 3x2 = 10, mēs nevaram apvienot 2x un 3x2 jo mainīgajam x ir cits eksponents. Lai iegūtu plašāku informāciju, skatiet, kā pievienot eksponentus.
3. daļa no 5: Mācīšanās atrisināt vienādojumus, "noraidot"
1. solis. Mēģiniet izolēt mainīgos lielumus algebriskos vienādojumos
Vienādojumu risināšana algebrā parasti nozīmē noskaidrot mainīgā vērtību. Algebriskos vienādojumus parasti veido skaitļi un/vai mainīgie abās pusēs, piemēram: x + 2 = 9 × 4. Lai atrastu mainīgā vērtību, mainīgais ir jāizolē vienādības zīmes vienā pusē. Viss, kas paliek vienādības zīmes otrā pusē, ir jūsu atbilde.
Piemērā (x + 2 = 9 × 4), lai izolētu x vienādojuma kreisajā pusē, mums ir jālikvidē " + 2". Lai to izdarītu, mums tikai jāatņem 2 no šīs malas, atstājot mūs ar x = 9 × 4. Tomēr, lai abas vienādojuma puses būtu vienādas, mums ir jāatņem arī 2 no otras puses. Tādējādi mums paliek x = 9 × 4 - 2. Ievērojot darbību secību, mēs vispirms reizinām, tad atņemam, sniedzot atbildi x = = 36 - 2 = 34.
2. solis. Novērst saskaitīšanu, atņemot (un otrādi)
Kā mēs redzējām iepriekš, x izolēšana vienādības zīmes vienā pusē parasti nozīmē blakus esošo skaitļu likvidēšanu. Lai to izdarītu, mēs veicam "reverso" darbību abās vienādojuma pusēs. Piemēram, vienādojumā x + 3 = 0, tā kā aiz mūsu x redzam " + 3", abās pusēs ievietosim "-3". "+3" un "-3", atstājot x vienatnē un "-3" vienādības zīmes otrā pusē, piemēram: x = -3.
-
Kopumā saskaitīšana un atņemšana ir kā "reverss" - aprēķiniet vienu darbību, lai atmestu otru. Skatīt zemāk:
-
- Papildinājumam atņemiet. Piemērs: x + 9 = 3 → x = 3 - 9
- Lai atņemtu, saskaitiet. Piemērs: x - 4 = 20 → x = 20 + 4
-
Solis 3. Novērst reizināšanu ar dalīšanu (un otrādi)
Ar reizināšanu un dalīšanu ir nedaudz grūtāk strādāt nekā saskaitīšanu un atņemšanu, taču šiem aprēķiniem ir tāda pati "apgrieztā" attiecība. Ja vienā pusē redzat “× 3”, jūs to noraidīsit, abas puses dalot ar 3 utt.
-
Reizinot un dalot, jums ir jāveic apgrieztā darbība visiem skaitļiem, kas atrodas vienādības zīmes otrā pusē, pat ja šajā pusē ir vairāk nekā viens skaitlis. Skatīt zemāk:
-
- Lai reizinātu, sadaliet. Piemērs: 6x = 14 + 2 → x = (14 + 2) /6
- Sadalīšanai reiziniet. Piemērs: x/5 = 25 → x = 25 × 5
-
Solis 4. Noņemiet eksponentu, atrodot sakni (un otrādi)
Eksponenti ir diezgan attīstīta tēma pirms algebra - ja jūs nezināt, kā to izdarīt, skatiet mūsu eksponenciālo pamatrakstu. Eksponenta "reverss" ir sakne, kurai ir tāds pats skaitlis kā eksponentam. Piemēram, eksponenta reciproks 2 ir kvadrātsakne (√), eksponenta reciproks 3 ir kuba sakne (3), un tā tālāk.
-
Tas varētu būt nedaudz mulsinoši, taču šajos gadījumos, strādājot ar eksponentu, jūs meklējat abu pušu saknes. Citiem vārdiem sakot, jūs veicat eksponēšanu abām pusēm, strādājot ar sakni. Skatīt zemāk:
-
- Eksponentam atrodiet sakni. Piemērs: x2 = 49 → x = √49
- Saknēm paceliet. Piemērs: x = 12 → x = 122
-
4. daļa no 5: Uzlabojiet savas algebra prasmes
1. solis. Izmantojiet attēlus, lai jautājumi būtu skaidrāki
Ja jums ir grūtības iedomāties algebras problēmu, mēģiniet izmantot diagrammu vai attēlu, lai ilustrētu savu vienādojumu. Jūs pat varat mēģināt izmantot virkni fizisku objektu (piemēram, klucīšus vai monētas), ja jums tāds ir.
-
Piemēram, atrisināsim vienādojumu x + 2 = 3, izmantojot kvadrātu (☐)
-
- x +2 = 3
- ☒+☐☐ =☐☐☐
- Šajā solī mēs atņemsim 2 no abām pusēm, noņemot 2 kvadrātus (☐☐) no abām pusēm:
- ☒+☐☐-☐☐ =☐☐☐-☐☐
-
= ☐ vai x =
1. darbība.
-
-
Vēl viens piemērs - mēģināsim 2x = 4
-
- ☒☒ =☐☐☐☐
- Šajā solī mēs sadalīsim abas puses, atdalot kastes katrā pusē divās grupās:
- ☒|☒ =☐☐|☐☐
-
=, vai x =
2. solis.
-
2. solis. Izmantojiet "veselā saprāta pārbaudes" (īpaši stāstu jautājumiem)
Pārvēršot stāsta problēmas algebrā, mēģiniet pārbaudīt savas formulas, ievadot vienkāršas mainīgo vērtības. Vai jūsu vienādojumam ir jēga, ja x = 0? Kad x = 1? Kad x = -1? Ir viegli pieļaut vienkāršu kļūdu, rakstot p = 6d, kad domājat p = d/6, taču šīs lietas būs viegli pamanīt, ja pirms došanās tālāk ātri pārbaudīsiet savu darbu.
Piemēram, mums saka, ka futbola laukums ir par 30 m garāks nekā plats. Šīs problēmas attēlošanai mēs izmantojam vienādojumu p = l + 30. Mēs varam pārbaudīt, vai šim vienādojumam ir jēga, ievadot vienkāršas vērtības l. Piemēram, ja lauka platums ir l = 10 m, garums ir 10 + 30 = 40 m. Ja platums ir 30 m, garums ir 30 + 30 = 60 m utt. Šim vienādojumam ir jēga - mēs sagaidām, ka šim laukam būs lielāks garums, palielinoties platumam, tāpēc šim vienādojumam ir jēga
3. solis. Ņemiet vērā, ka atbildes algebrā ne vienmēr ir veseli skaitļi
Atbildes algebrā un citās uzlabotās formās ne vienmēr ir vienkārši, apaļi skaitļi. Šis skaitlis var būt decimālskaitlis, daļskaitlis vai neracionāls skaitlis. Kalkulators var palīdzēt atrast šīs sarežģītās atbildes, taču paturiet prātā, ka skolotājs var pieprasīt, lai atbildes rakstītu precīzā formā, nevis sarežģītā decimālā formā.
Piemēram, mēs vienkāršosim algebrisko vienādojumu līdz x = 12507. Ja mēs ierakstām 12507 kalkulatorā mēs iegūsim ļoti daudzas zīmes aiz komata (turklāt, tā kā kalkulatora ekrāns nav ļoti liels, kalkulators nevar parādīt visas atbildes.) Šādā gadījumā, iespējams, vēlēsimies pierakstīt savu atbildi tikai kā 12507 vai vienkāršot atbildi, rakstot to zinātniskā apzīmējumā.
4. solis. Kad jūtat pārliecību par pamata algebru, izmēģiniet faktoringu
Viena no vissarežģītākajām algebriskajām spējām ir faktorings - sava veida īsceļš sarežģītu vienādojumu pārvēršanai vienkāršākās formās. Faktorings ir daļēji uzlabota algebra tēma, tāpēc, ja rodas grūtības to apgūt, apsveriet iespēju iepazīties ar iepriekš minēto rakstu. Zemāk ir tikai daži ātri padomi faktoringa vienādojumiem:
- Formas ax + ba vienādojums tiek sadalīts a (x + b). Piemērs: 2x + 4 = 2 (x + 2)
- Formas cirvja vienādojums2 + bx tiek ieskaitīts cx ((a/c) x + (b/c)), kur c ir lielākais skaitlis, kas var vienmērīgi sadalīt a un b. Piemērs: 3 gadi2 + 12 gadi = 3 gadi (y + 4)
- Formas x vienādojums2 + bx + c tiek ņemti vērā (x + y) (x + z), kur y × z = c un yx + zx = bx. Piemērs: x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 1).
Solis 5. Prakse, prakse un prakse
Progress algebrā (un citos matemātikas veidos) prasa daudz smaga darba un atkārtošanās. Neuztraucieties - pievēršot uzmanību stundām, izpildot visus savus uzdevumus un meklējot palīdzību no skolotāja vai citiem skolēniem, kad tas ir nepieciešams, algebra sāks kļūt par ieradumu.
6. solis. Palūdziet skolotājam palīdzēt izprast sarežģītas algebriskās tēmas
Ja jums ir grūtības saprast algebru, neuztraucieties - jums tas nav jāmācās vienatnē. Jūsu skolotājs ir pirmā persona, pie kuras jāvēršas, lai uzdotu jautājumus. Pēc stundām pieklājīgi lūdziet skolotāja palīdzību. Labs skolotājs parasti būs gatavs vēlreiz izskaidrot dienas tēmu pēcskolas sanāksmē, un jūsu skolotājs, iespējams, varēs jums sniegt papildu prakses materiālus.
Ja kāda iemesla dēļ skolotājs nevar jums palīdzēt, jautājiet viņam par papildu mācību iespējām jūsu skolā. Daudzās skolās ir sava veida pēcskolas programma, kas var palīdzēt iegūt papildu laiku un uzmanību, kas nepieciešama algebra apgūšanai. Atcerieties, ka, izmantojot jums pieejamo bezmaksas palīdzību, nav par ko kaunēties - tā ir zīme, ka esat pietiekami gudrs, lai atrisinātu savu problēmu
5. daļa no 5: Starpposma tēmu izpēte
1. solis. Uzziniet, kā attēlot x/y vienādojumu
Diagrammas var būt vērtīgs rīks algebrā, jo tās ļauj viegli saprotamu attēlu veidā prezentēt idejas, kurām nepieciešami skaitļi. Parasti iesācēju algebrā grafikas problēmas aprobežojas ar vienādojumiem ar diviem mainīgajiem (parasti x un y) un tiek attēlotas vienkāršos divdimensiju grafikos ar x un y asi. Izmantojot šos vienādojumus, viss, kas jums jādara, ir ievadīt x vērtību, pēc tam meklēt y (vai otrādi), lai iegūtu divus skaitļus, kas kļūst par punktu grafikā.
- Piemēram, vienādojumā y = 3x, ja x ievadām 2, iegūstam y = 6. Tas nozīmē, ka punkts (2, 6) (divi soļi pa labi no grafika centra un seši soļi uz augšu no grafika centra) ir daļa no šī vienādojuma grafika.
- Vienādojumi formā y = mx + b (kur m un b ir skaitļi) ir ļoti izplatīti pamata algebrā. Šiem vienādojumiem vienmēr ir gradients vai slīpums m, un tie krusto y asi pie y = b.
2. solis. Uzziniet, kā atrisināt nevienlīdzību
Ko jūs darāt, ja jūsu vienādojumam nav vienādības zīmes? Izrādās, ne pārāk atšķiras no tā, ko parasti darāt. Attiecībā uz nevienlīdzību, kurā tiek izmantotas tādas zīmes kā> ("lielāks par") un <("mazāks par"), vienkārši atrisiniet to kā parasti. Jūs atstāsit atbildi, kas ir mazāka vai lielāka par jūsu mainīgo.
-
Piemēram, ar vienādojumu 3> 5x - 2 mēs to atrisinātu kā parasto vienādojumu:
-
- 3> 5x - 2
- 5> 5x
- 1> x vai x <1.
-
- Tas nozīmē, ka jebkurš skaitlis, kas ir mazāks par vienu, var būt x vērtība. Citiem vārdiem sakot, x var būt 0, -1, -2 utt. Ja šos skaitļus pievienosim vienādojumam x, mēs vienmēr saņemsim atbildi, kas ir mazāka par 3.
3. Darbs pie kvadrātvienādojumiem
Viena no algebriskajām tēmām, ar kurām iesācējiem var rasties problēmas, ir kvadrātvienādojumu risināšana. Kvadrāts ir cirvja formas vienādojums2 + bx + c = 0, kur a, b un c ir skaitļi (izņemot to, ka a nevar būt 0). Šos vienādojumus atrisina pēc formulas x = [-b +/- (b2 - 4ac)]/2a. Esiet piesardzīgs - zīme +/- nozīmē, ka jums ir jāatrod atbildes uz saskaitīšanu un atņemšanu, lai jums būtu divas atbildes uz šāda veida jautājumiem.
-
Piemēram, atrisināsim kvadrātisko formulu 3x2 + 2x -1 = 0.
-
- x = [-b +/- (b2 - 4ac)]/2a
- x = [-2 +/- (22 - 4(3)(-1))]/2(3)
- x = [-2 +/- (4- (-12))]/6
- x = [-2 +/- (16)]/6
- x = [-2 +/- 4]/6
- x = - 1 un 1/3
-
Solis 4. Eksperimentējiet ar vienādojumu sistēmām
Vairāku vienādojumu risināšana vienlaikus var likties ļoti sarežģīta, taču, strādājot ar vienkāršiem algebriskiem vienādojumiem, patiesībā tas nav tik grūti. Bieži algebras skolotāji šo problēmu risināšanai izmanto grafisku pieeju. Strādājot ar divu vienādojumu sistēmu, risinājumi ir grafika punkti, kuros krustojas abu vienādojumu līnijas.
- Piemēram, mēs strādājam ar sistēmu, kuras vienādojumi ir y = 3x -2 un y = -x -6. Ja grafikā uzzīmēsim šīs divas līnijas, mēs iegūsim vienu līniju, kas palielinās par stāvu leņķi, un vienu kas nolaižas lejup pa stāvu leņķi, maigs leņķis. Tā kā šīs līnijas krustojas punktā (-1, -5), tad šis punkts ir šīs sistēmas risinājums.
-
Ja mēs vēlamies pārbaudīt savu problēmu, mēs to varam izdarīt, pievienojot savu atbildi sistēmas vienādojumam - pareizā atbilde būs "pareiza" abiem vienādojumiem.
-
- y = 3x - 2
- -5 = 3(-1) - 2
- -5 = -3 - 2
- -5 = -5
- y = -x - 6
- -5 = -(-1) - 6
- -5 = 1 - 6
- -5 = -5
-
- Abi vienādojumi ir "pārbaudīti", tāpēc mūsu atbilde ir pareiza!
Padomi
- Ir daudz resursu, lai mācītos algebru no interneta. Piemēram, meklētājprogrammā meklējiet "algebriskās formulas". Tiks parādīts tik daudz lielisku rezultātu. Varat arī mēģināt pārlūkot dažādus wikiHow matemātikas rakstus. Ir daudz informācijas, tāpēc sāciet to izpētīt tūlīt!
- Viena lieliska vietne algebra iesācējiem ir khanacademy.com. Šī bezmaksas vietne piedāvā desmitiem viegli sekojamu nodarbību par visdažādākajām tēmām, ieskaitot algebru. Visām šīm tēmām ir videoklipi, sākot no ļoti vienkāršiem pamatiem un beidzot ar padziļinātām universitātes līmeņa tēmām. Tāpēc nebaidieties izpētīt Khan Academy materiālus un sāciet izmantot visu vietnes piedāvāto palīdzību!
- Neaizmirstiet, ka jūsu labākie resursi, mēģinot apgūt algebru, ir labi pazīstami cilvēki. Pajautājiet saviem draugiem vai klasesbiedriem par pēdējo stundu, kuru nesapratāt.
