Kā iegūt netiešas funkcijas: 7 soļi (ar attēliem)

2024 Autors: Jason Gerald | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-19 22:13

Aprēķinos, ja jums ir vienādojums y, kas rakstīts formā x (piemēram, y = x² -3x), lai atrastu atvasinājumu, ir viegli izmantot pamata atvasināšanas paņēmienus (matemātiķi tos dēvē par netiešo funkciju atvasinājumu paņēmieniem). Tomēr vienādojumiem, kurus ir grūti uzbūvēt, ja vienības zīmes vienā pusē ir tikai y termins (piemēram, x² + y² - 5x + 8g + 2xy² = 19), ir nepieciešama cita pieeja. Izmantojot paņēmienu, ko sauc par netiešo funkciju atvasinājumiem, ir viegli atrast daudzfaktoru vienādojumu atvasinājumus, ja vien jūs zināt skaidru funkciju atvasinājumu pamatus!

Solis

1. metode no 2: Ātra vienkāršu vienādojumu iegūšana

1. solis. Atvasiniet x nosacījumus kā parasti

Mēģinot iegūt vairāku mainīgo vienādojumu, piemēram, x² + y² - 5x + 8g + 2xy² = 19, var būt grūti zināt, ar ko sākt. Par laimi, netiešās funkcijas atvasinājuma pirmais solis ir vieglākais. Sākumā vienkārši atvasiniet vienādojuma abas puses x nosacījumus un konstantes saskaņā ar parasto (skaidru) atvasinājumu noteikumiem. Pagaidām ignorējiet y-terminus.

• Mēģināsim iegūt vienkārša vienādojuma piemēru iepriekš. x² + y² - 5x + 8g + 2xy² = 19 ir divi termini x: x² un -5x. Ja mēs vēlamies iegūt vienādojumu, vispirms tas jādara šādi:

  x² + y² - 5x + 8g + 2xy² = 19

  (Samaziniet līdz pakāpei 2 x² kā koeficientu noņemiet x 5x un mainiet 19 uz 0)

  2x + y² - 5 + 8g + 2xy² = 0

2. solis. Atvasiniet y nosacījumus un pievienojiet (dy/dx) blakus katram terminam

Nākamajā solī vienkārši atvasiniet y terminus tādā pašā veidā, kā atvasinājāt x nosacījumus. Tomēr šoreiz blakus katram terminam pievienojiet (dy/dx), kā jūs pievienotu koeficientus. Piemēram, ja pazemināt y², tad atvasinājums kļūst par 2y (dy/dx). Pagaidām ignorējiet terminus, kuriem ir x un y.

• Mūsu piemērā mūsu vienādojums tagad izskatās šādi: 2x + y² - 5 + 8g + 2xy² = 0. Mēs veiksim nākamo y iegūšanas soli šādi:

  2x + y² - 5 + 8g + 2xy² = 0

  (Samaziniet līdz pakāpei 2 in y² kā koeficientus noņemiet y 8y un ievietojiet dy/dx blakus katram terminam).

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy²= 0

3. solis. Izmantojiet produkta noteikumu vai koeficienta noteikumu noteikumiem, kuros ir x un y

Darbs ar terminiem, kuriem ir x un y, ir nedaudz sarežģīts, taču, ja jūs zināt produkta noteikumus un atvasinājumu koeficientu, jums būs viegli. Ja reizina vienumus x un y, izmantojiet produkta noteikumu ((f × g) '= f' × g + g × f '), aizstājot x terminu f un y terminu g. No otras puses, ja nosacījumi x un y ir savstarpēji izslēdzoši, izmantojiet koeficienta noteikumu ((f/g) '= (g × f' - g '× f)/g²), aizstājot skaitītāju ar f un saucēju ar g.

• Mūsu piemērā 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy² = 0, mums ir tikai viens termins, kuram ir x un y - 2xy². Tā kā x un y reizina viens ar otru, mēs izmantosim produkta noteikumu, lai iegūtu šādu secību:

  2xy² = (2x) (y²)- iestatiet 2x = f un y² = g collas (f × g) '= f' × g + g × f '

  (f × g) '= (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

  (f × g) '= (2) × (y²) + (2x) × (2g (dy/dx))

  (f × g) '= 2 g² + 4xy (dy/dx)

• Pievienojot to mūsu galvenajam vienādojumam, mēs iegūstam 2x + 2 g (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2 g² + 4xy (dy/dx) = 0

4. solis. Viens pats (dy/dx)

Jūs gandrīz esat pabeidzis! Tagad viss, kas jums jādara, ir atrisināt vienādojumu (dy/dx). Šķiet, ka tas ir grūti, bet parasti tā nav - atcerieties, ka jebkurus divus terminus a un b reizina ar (dy/dx), reizināšanas īpašību dēļ var rakstīt kā (a + b) (dy/dx). Šī taktika var atvieglot izolēšanu (dy/dx) - vienkārši pārvietojiet visus pārējos terminus iekavu otrā pusē, pēc tam sadaliet tos ar vārdiem, kas atrodas iekavās blakus (dy/dx).

• Mūsu piemērā mēs vienkāršojam 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0 šādi:

  2x + 2 g (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2 g² + 4xy (dy/dx) = 0

  (2g + 8 + 4xy) (dy/dx) + 2x - 5 + 2g² = 0

  (2g + 8 + 4xy) (dy/dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy/dx) = (-2g² - 2x + 5)/(2g + 8 + 4xy)

  (dy/dx) = (-2g² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

2. metode no 2: uzlabotas tehnikas izmantošana

1. solis. Ievadiet vērtību (x, y), lai atrastu (dy/dx) jebkuram punktam

Droši! Jūs jau esat netieši atvasinājis savu vienādojumu - tas nav viegls darbs pirmajā mēģinājumā! Izmantojot šo vienādojumu, lai atrastu gradientu (dy/dx) jebkuram punktam (x, y), ir tikpat vienkārši, kā pievienot punkta x un y vērtības vienādojuma labajai pusei, pēc tam atrast (dy/dx).

• Piemēram, pieņemsim, ka mēs vēlamies atrast gradientu mūsu parauga vienādojuma punktā (3, -4). Lai to izdarītu, mēs aizstāsim x ar x 3 un -4 ar y, atrisinot šādi:

  (dy/dx) = (-2g² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

  (dy/dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy/dx) = (-2 (16)-6 + 5)/(2 (2 (3) (-4))

  (dy/dx) = (-32)-6 + 5)/(2 (2 (-12)))

  (dy/dx) = (-33)/(2 (2 (-12)))

  (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48, vai 0, 6875.

2. solis. Izmantojiet ķēdes noteikumu funkcijām funkcijās

Ķēdes noteikums ir svarīgas zināšanas, kas nepieciešamas, strādājot pie aprēķina problēmām (ieskaitot netiešās funkcijas atvasinājuma problēmas). Ķēdes noteikums nosaka, ka funkcijai F (x), ko var uzrakstīt kā (f o g) (x), atvasinājums no F (x) ir vienāds ar f '(g (x)) g' (x). Sarežģītu netiešu funkciju atvasinājumu problēmu gadījumā tas nozīmē, ka ir iespējams iegūt dažādas vienādojuma atsevišķās daļas un pēc tam apvienot rezultātus.

• Piemēram, pieņemsim, ka mums jāatrod grēka atvasinājums (3x² + x) kā daļa no lielākas netiešās funkcijas atvasinājuma uzdevuma vienādojumam sin (3x² + x) + y³ = 0. Ja iedomājamies grēku (3x² + x) kā f (x) un 3x² + x kā g (x), mēs varam atrast atvasinājumu šādi:

  f '(g (x)) g' (x)

  (grēks (3x² + x)) '× (3x² +x) '

  cos (3x² + x) × (6x + 1)

  (6x + 1) cos (3x² +x)

Solis 3. Vienādojumiem ar mainīgajiem x, y un z atrodiet (dz/dx) un (dz/dy)

Lai gan pamata aprēķinos tas ir neparasti, dažām uzlabotajām lietojumprogrammām var būt nepieciešams izsecināt vairāk nekā divu mainīgo netiešās funkcijas. Katram papildu mainīgajam jāatrod tā papildu atvasinājums attiecībā pret x. Piemēram, ja jums ir x, y un z, meklējiet gan (dz/dy), gan (dz/dx). Mēs to varam izdarīt, divreiz atvasinot vienādojumu attiecībā pret x - pirmkārt, ievadīsim (dz/dx) katru reizi, kad atvasināsim terminu, kas satur z, un, otrkārt, katru reizi, kad iegūsim, ievietosim (dz/dy) z. Pēc tam atliek tikai atrisināt (dz/dx) un (dz/dy).

• Piemēram, pieņemsim, ka mēs mēģinām iegūt x³z² - 5xy⁵z = x² + y³.

• Vispirms atvasināsim pret x un ievadīsim (dz/dx). Ja nepieciešams, neaizmirstiet piemērot produkta noteikumu!

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  3x²z² + 2x³z (dz/dx) - 5 gadi⁵z - 5x⁵(dz/dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5x⁵) (dz/dx) - 5 gadi⁵z = 2x

  (2x³z - 5x⁵) (dz/dx) = 2x - 3x²z² + 5 g⁵z

  (dz/dx) = (2x - 3x²z² + 5 g⁵z)/(2x³z - 5x⁵)

• Tagad dariet to pašu (dz/dy)

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  2x³z (dz/dy) - 25xy⁴z - 5x⁵(dz/dy) = 3 g²

  (2x³z - 5x⁵) (dz/dy) = 3 g² + 25xy⁴z

  (dz/dy) = (3g² + 25xy⁴z)/(2x³z - 5x⁵)