Ātrums tiek definēts kā objekta ātrums noteiktā virzienā. Daudzās situācijās, lai atrastu ātrumu, mēs varam izmantot vienādojumu v = s/t, kur v ir vienāds ar ātrumu, s ir vienāds ar kopējo attālumu, kādā objekts ir pārvietojies no sākotnējās pozīcijas, un t ir vienāds ar laiku. Tomēr šī metode dod tikai objekta "vidējo" ātruma vērtību pār tā pārvietojumu. Izmantojot aprēķinus, jūs varat aprēķināt objekta ātrumu jebkurā tā pārvietošanas vietā. Šo vērtību sauc par "momentālo ātrumu", un to var aprēķināt pēc vienādojuma v = (ds)/(dt), vai, citiem vārdiem sakot, ir vienādojuma atvasinājums priekšmeta vidējam ātrumam.
Solis
1. metode no 3: momentānā ātruma aprēķināšana
Solis 1. Sāciet ar vienādojumu objekta pārvietošanās ātrumam
Lai iegūtu objekta momentānā ātruma vērtību, mums vispirms ir jābūt vienādojumam, kas apraksta tā stāvokli (tā pārvietojuma izteiksmē) noteiktā laika brīdī. Tas nozīmē, ka vienādojumam jābūt mainīgam s (kas stāv viens) vienā pusē, un t no otras puses (bet ne vienmēr atsevišķi), piemēram:
s = -1,5 t2+10 t+4
-
Vienādojumā mainīgie ir šādi:
-
-
Pārvietojums = s. Tas ir objekta nobrauktais attālums no tā sākuma punkta. Piemēram, ja objekts pārvietojas 10 metrus uz priekšu un 7 metrus atpakaļ, tad kopējais nobrauktais attālums ir 10 - 7 = 3 metri (nevis 10 + 7 = 17 metri).
-
Laiks = t. Šis mainīgais ir pašsaprotams. Parasti izsaka sekundēs. # Ņemiet vienādojuma atvasinājumu. Vienādojuma atvasinājums ir vēl viens vienādojums, kas var noteikt slīpuma vērtību no noteikta punkta. Lai atrastu atvasinājumu no formulas objekta pārvietošanai, atvasiniet funkciju, izmantojot šādu vispārīgu noteikumu: Ja y = a*x , Atvasinājums = a*n*xn-1. Šis noteikums attiecas uz jebkuru komponentu, kas atrodas vienādojuma "t" pusē.
Aprēķiniet momentāno ātrumu 2. solis
-
-
- Citiem vārdiem sakot, sāciet, nolaižot vienādojuma "t" pusi no kreisās uz labo pusi. Katru reizi, kad sasniedzat "t" vērtību, no eksponenta vērtības atņemiet 1 un reiziniet visu ar sākotnējo eksponentu. Visas konstantes (mainīgie, kas nesatur "t") tiks zaudētas, jo tās tiek reizinātas ar 0. Šis process nav tik grūts, kā varētu domāt, kā piemēru iegūsim iepriekš aprakstītās darbības vienādojumu:
s = -1,5 t2+10 t+4
(2) -1,5 t(2-1)+ (1) 10 t1 - 1 + (0) 4 t0
-3 t1 + 10 t0
- 3t + 10
2. solis. Aizstājiet mainīgo “s” ar “ds/dt
"Lai parādītu, ka jūsu jaunais vienādojums ir atvasinājums no iepriekšējā vienādojuma, aizstājiet" s "ar" ds/dt ". Tehniski šis apzīmējums nozīmē" s atvasinājums attiecībā pret t. "Vienkāršāks veids, kā to saprast, ir tas, ka ds /dt ir slīpuma (slīpuma) vērtība jebkurā pirmā vienādojuma punktā, piemēram, lai noteiktu taisnes slīpumu, kas novilkts no vienādojuma s = -1,5t2 + 10t + 4 pie t = 5, mēs varam pievienot vērtību "5" atvasinājuma vienādojumam.
- Izmantotajā piemērā pirmais atvasinājuma vienādojums tagad izskatītos šādi:
ds/sek = -3t + 10
Solis 3. Pievienojiet t vērtību jaunajam vienādojumam, lai iegūtu momentānā ātruma vērtību
Tagad, kad jums ir atvasinājuma vienādojums, ir viegli atrast momentāno ātrumu jebkurā vietā. Viss, kas jums jādara, ir izvēlēties t vērtību un pievienot to atvasinājuma vienādojumam. Piemēram, ja vēlaties atrast momentāno ātrumu pie t = 5, jūs varat aizstāt t vērtību ar "5" atvasinājuma vienādojumā ds/dt = -3 + 10. Pēc tam atrisiniet vienādojumu šādi:
ds/sek = -3t + 10
ds/sek = -3 (5) + 10
ds/sek = -15 + 10 = - 5 metri sekundē
Ņemiet vērā, ka iepriekš izmantotā mērvienība ir "metrs sekundē". Tā kā tas, ko mēs aprēķinām, ir pārvietojums metros un laiks sekundēs (sekundēs) un ātrums kopumā ir pārvietojums noteiktā laikā, šī vienība ir piemērota lietošanai
2. metode no 3: Momentālā ātruma grafiska novērtēšana
Solis 1. Uzzīmējiet objekta pārvietojuma grafiku laika gaitā
Iepriekšējā sadaļā atvasinājums ir minēts kā formula, lai atrastu slīpumu noteiktā vietā vienādojumam, kuru jūs iegūstat. Patiesībā, ja grafikā attēlojat objekta pārvietojumu kā līniju, "līnijas slīpums visos punktos ir vienāds ar tā momentānā ātruma vērtību tajā brīdī".
- Lai aprakstītu objekta pārvietojumu, izmantojiet x, lai attēlotu laiku, un y, lai attēlotu pārvietojumu. Pēc tam zīmējiet punktus, pievienojot t vērtību vienādojumam, tādējādi iegūstot grafika s vērtību, atzīmējiet grafikā t, s kā (x, y).
- Ņemiet vērā, ka diagramma var būt zem x ass. Ja līnija, kas attēlo jūsu objekta kustību, sasniedz zem x ass, tas nozīmē, ka objekts ir pārvietojies atpakaļ no sākotnējās pozīcijas. Parasti jūsu diagramma nesasniegs y ass aizmuguri - jo mēs nemērām objekta ātrumu, kas pārvietojas garām!
2. solis. Izvēlieties blakus esošo punktu P un Q līnijā
Lai iegūtu līnijas slīpumu punktā P, mēs varam izmantot triku, ko sauc par "robežas ņemšanu". Robežas ņemšana ietver divus punktus (P un Q, punkts tuvumā) uz izliektās līnijas un līnijas slīpuma atrašanu, savienojot tos daudzas reizes, līdz attālumi P un Q pietuvinās.
Pieņemsim, ka objekta pārvietojuma līnija satur vērtības (1, 3) un (4, 7). Šajā gadījumā, ja mēs vēlamies atrast slīpumu punktā (1, 3), mēs varam noteikt (1, 3) = P un (4, 7) = Q.
3. solis. Atrodiet slīpumu starp P un Q
Slīpums starp P un Q ir P un Q y vērtību atšķirība gar X ass vērtību starpību P un Q. Citiem vārdiem sakot, H = (yQ - gLpp)/(xQ - xLpp), kur H ir slīpums starp diviem punktiem. Mūsu piemērā slīpuma vērtība starp P un Q ir
H = (yQ- gLpp)/(xQ- xLpp)
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1.33
4. solis. Atkārtojiet vairākas reizes, pārvietojot Q tuvāk P
Jūsu mērķis ir samazināt attālumu starp P un Q, lai tas atgādinātu punktu. Jo tuvāks attālums starp P un Q, jo tuvāks līnijas slīpums punktā P. Dariet to vairākas reizes, izmantojot kā piemēru izmantoto vienādojumu, izmantojot punktus (2, 4,8), (1,5, 3,95) un (1,25, 3.49) kā Q un sākuma punktu (1, 3) kā P:
Q = (2, 4,8):
H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
H = (1,8)/(1) = 1.8
Q = (1,5, 3,95):
H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
H = (.95)/(. 5) = 1.9
Q = (1,25, 3,49):
H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
H = (.49)/(. 25) = 1.96
Solis 5. Novērtējiet līnijas slīpumu ļoti nelielā attālumā
Kad Q tuvojas P, H kļūst arvien tuvāk punkta P slīpuma vērtībai. Galu galā, sasniedzot ļoti mazu vērtību, H ir vienāds ar P slīpumu. Tā kā mēs nevaram izmērīt vai aprēķināt ļoti mazus attālumus, mēs varam novērtēt slīpumu uz P tikai pēc tam, kad tas ir skaidrs no punkta, kuru mēs cenšamies.
- Piemērā, kad mēs tuvinām Q tuvāk P, mēs iegūstam H vērtības 1,8, 1,9 un 1,96. Tā kā šie skaitļi ir tuvu 2, mēs varam teikt, ka 2 ir aptuvenais P slīpums.
- Atcerieties, ka slīpums jebkurā noteiktā līnijas punktā ir vienāds ar taisnes vienādojuma atvasinājumu. Tā kā izmantotā līnija parāda objekta nobīdi laika gaitā, un, kā redzējām iepriekšējā sadaļā, objekta momentālais ātrums ir atvasinājums no tā pārvietojuma noteiktā punktā, mēs varam arī apgalvot, ka "2 metri sekundē "ir aptuvenā momentānā ātruma vērtība pie t = 1.
3. metode no 3: Jautājumu paraugi
1. solis. Atrodiet momentānā ātruma vērtību pie t = 4 no pārvietojuma vienādojuma s = 5t3 - 3 t2 +2t+9.
Šī problēma ir tāda pati kā piemērs pirmajā daļā, izņemot to, ka šis vienādojums ir kuba vienādojums, nevis jaudas vienādojums, tāpēc mēs varam šo problēmu atrisināt tāpat.
- Pirmkārt, mēs ņemam vienādojuma atvasinājumu:
- Pēc tam ievadiet t (4) vērtību:
s = 5 t3- 3 t2+2t+9
s = (3) 5 t(3 - 1) - (2) 3 t(2 - 1) + (1) 2 t(1 - 1) + (0) 9 t0 - 1
15 t(2) - 6 t(1) + 2 t(0)
15 t(2) - 6 t + 2
s = 15 t(2)- 6 t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 metri sekundē
2. solis. Izmantojiet grafisko aprēķinu, lai atrastu momentāno ātrumu pie (1, 3) pārvietojuma vienādojumam s = 4t2 - t.
Šai problēmai mēs izmantosim (1, 3) kā punktu P, bet mums ir jādefinē cits punkts, kas atrodas blakus šim punktam kā punkts Q. Tad mums vienkārši jānosaka H vērtība un jāveic novērtējums.
- Vispirms atrodiet Q vērtību vispirms pie t = 2, 1,5, 1,1 un 1,01.
- Pēc tam nosakiet H vērtību:
- Tā kā H vērtība ir ļoti tuvu 7, mēs varam to apgalvot 7 metri sekundēir aptuvenais momentānais ātrums pie (1, 3).
s = 4 t2- t
t = 2:
s = 4 (2)2- (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, tātad Q = (2, 14)
t = 1,5:
s = 4 (1,5)2 - (1.5)
4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, tātad Q = (1,5, 7,5)
t = 1,1:
s = 4 (1.1)2 - (1.1)
4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, tātad Q = (1.1, 3.74)
t = 1,01:
s = 4 (1,01)2 - (1.01)
4 (1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, tātad Q = (1.01, 3.0704)
Q = (2, 14):
H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) =
11. solis.
Q = (1,5, 7,5):
H = (7,5 - 3)/(1,5 - 1)
H = (4,5)/(. 5) =
9. solis.
Q = (1.1, 3.74):
H = (3,74 - 3)/(1,1 - 1)
H = (.74)/(. 1) = 7.3
Q = (1.01, 3.0704):
H = (3.0704 - 3)/(1.01 - 1)
H = (.0704)/(.01) = 7.04
Padomi
- Lai atrastu paātrinājuma vērtību (ātruma izmaiņas laika gaitā), izmantojiet pirmajā sadaļā norādīto metodi, lai iegūtu vienādojumu pārvietošanas funkcijas atvasinājumam. Pēc tam vēlreiz izveidojiet atvasināto vienādojumu, šoreiz no atvasinātā vienādojuma. Tas dos jums vienādojumu, lai atrastu paātrinājumu jebkurā brīdī, viss, kas jums jādara, ir ievadīt savu laika vērtību.
- Vienādojums, kas attiecas uz Y vērtību (pārvietojums) uz X (laiks), var būt ļoti vienkāršs, piemēram, Y = 6x + 3. Šajā gadījumā slīpuma vērtība ir nemainīga, un nav nepieciešams atrast atvasinājumu, lai to aprēķinātu, kur saskaņā ar taisnes vienādojumu Y = mx + b būs vienāds ar 6.
- Pārvietojums ir līdzīgs attālumam, bet tam ir virziens, tāpēc pārvietojums ir vektora lielums, bet attālums ir skalārs lielums. Pārvietošanās vērtība var būt negatīva, bet attālums vienmēr būs pozitīvs.
